books solving transcendental equations

If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.

# Transcendental Number Theory # Examples of Transcendental Functions # transcendental leadership # Transcendental Leadership as Modern Leadership # transcendental equation # transcendental function # Known Transcendental Numbers # transcendental material # solving engineering equations # Methods for solving equations # solving algebraic equations # Methods for solving exponential equations # An overview of solving equations with matrices # Problems solving equations in computers # Methods for solving differential equations # solving linear equations # solving quadratic equations # solving simultaneous equations # Facilitate solving differential equations # solving cubic equations

حل المعادلات المتسامية (Info)

حل المعادلات اللوغارتمية

هناك نوعان من المعادلات اللوغريتمية (بالإنجليزية: Logarithmic Equations)، وهما:

عند وجود لوغاريتمين في المعادلة، كل منهما على طرف لوحده، والأساسات متساوية، فإن حلّها يكون باعتبار ما داخل اللوغاريتم متساوياً؛ مثل لو_ب م = لو_ب ن، وبالتالي فإن م=ن.
عند وجود لوغاريتم واحد على أحد طرفي المعادلة اللوغاريتمية كما يلي: لو_ب ن = م، فإنه يتم تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية: ب ^م = ن، ثم حلّها.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₂ (س+2)+لو₂ (3) = لو ₂ (27)؟
- الحل: يمكن استخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م×ن) = لو _ب م + لو_ب ن، لإعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية في الأعلى كما يلي: لو₂ ((س+2)×3) = لو₂ 27.
- بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ أيضاً، وبالتالي: (س+2)×3 = 27، ومنه: 3س+6 = 27، وبحل هذه المعادلة فإن: س= 7.

ملاحظة: يمكن أن تكون قيمة س مساوية للصفر، أو موجبة، أو سالبة، وفي المقابل لا يمكن للقيمة داخل اللوغاريتم أن تكون صفراً، أو سالبة.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₅ (س+2) - لو ₅ (س) = لو ₅ (2س-1) - لو₅ (3س-12)؟
- الحل:
- يمكن حل هذه المعادلة باستخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م/ن) = لو _ب م - لو_ب ن، ومنه:
  - لو ₅ ((س+2)/س) = لو₅((2س-1)/(3س-12)).
  - بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ، وبالتالي: (س+2)/س = (2س-1)/(3س-12).
  - بالضرب التبادلي، وتجميع الحدود نحصل على المعادلة التربيعية الآتية: س²-5س-24=0، وبتحليل هذه المعادلة إلى عواملها فإن: (س+3)(س-8) = 0، وبالتالي فإن للمتغير س قيمتان، وهما: س= -3، وس = 8.

حل المعادلات المثلثية

يمكن تعريف المعادلات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Equations) بأنها المعادلات التي تربط بين الاقترانات المثلثية لزوايا مجهولة القياس، ويُقصد بحل المعادلات المثلثية إيجاد قيمة الزاوية المجهولة التي تحقق المعادلة، وبشكل عام فإن المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول؛ لذلك يتم حصر المجال لقيم الزوايا بين (0، و360) درجة لتقليل عدد حلولها، وفي الحقيقة لا توجد طريقة عامة يمكن استخدامها لحل جميع هذه المعادلات، ولكن هناك بعض الخطوات التي يمكن اتباعها لحلها بسهولة، وهي:

تبسيط المعادلات المثلثية إلى أبسط صورة ممكنة إن أمكن ذلك.
محاولة توحيد جميع الزوايا ضمن الاقترانات المثلثية.
محاولة توحيد الاقترانات المثلثية للزوايا عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية.
التحقّق من صحة الحل بعد كل خطوة.

مثال: ما هو حل المعادلة المثلثية 2×جتا²(س) = -3×جتاس+2؛ حيث س تتراوح بين: 0، و360 درجة؟
- 'الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي:
  - 2×جتا²(س)+ 3×جتاس- 2 = 0
  - يمكن تحليل هذه المعادلة على أنها معادلة تربيعية مثلاً كما يلي:
  - (2 جتاس - 1)(جتاس + 2) = 0
  - يمكن ملاحظة أن للمعادلة حلان، وهما:
    - 2 جتاس - 1 = 0، ومنه: جتاس = 1/2؛ أي أن س هي الزاوية التي تكون قيمة جيب التمام لها تساوي 1/2، وهما الزاويتان: 60°، و300°.
    - وأما الحل الآخر فهو: جتاس+2 = 0، جتاس = -2، ومنه: س = Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية يكون محصوراً بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي -2.
- وهذا يعني أن لهذه المعادلة المثلثية حلان، وهما: س= 60°، و300°.

مثال: ما هو حل المعادلة جا2س = 3 جاس، حيث س محصورة بين 0، و360 درجة؟
- الحل: لدينا زاويتان مختلفتان وهما: 2س، وس، ولجعل الزاويتين متساويتين يمكن استخدام متطابقة: جا2س، وذلك كما يلي: جا2س = 2جاس جتاس = 3 جاس
- جعل جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي: 2جاس جتا س - 3 جا س = 0، استخراج جاس كعامل مشترك لينتج أن: جاس×(2×جتاس-3)=0.
- مساواة كل قيمة بالصفر، وذلك كما يلي:
  - جاس = صفر، ومنه: س = 0، و 180.
  - 2جتاس - 3 = 0، وبالتالي: جتا س= 3/2، ومنه: س= Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية تكون محصورة بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي 3/2.
وهذا يعني أن للمعادلة حلان، وهما: س = 0، وس = 180.

لمزيد من المعلومات حول المتطابقات المثلثية يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

حل المعادلات الأسية

تعرف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها المعادلة التي يقع فيها المجهول أو المتغير في الأس؛ مثل: 3^(س+1) = 9، و 5^ل+3×5^(ل-1)=400، ويمكن حلّها باستخدام عدة طرق كما يلي:

عندما تكون الأساسات متساوية: مثل أ^س = أ^ص، ويكون حلها بالاستعانة بالنظرية التي تقول: عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى؛ أي أنّه عندما تكون: أ^س = أ^ص، فإنّ: س= ص، بشرط أن تكون (أ) أكبر من صفر، ولا تساوي واحد، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: 3 ^(س+1) = 9
  - الحل:
  - يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي: 3^(س+1) = 3²
  - بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أي: س+1= 2، ومنه: س = 1.

عندما تكون الأساسات غير متساوية: ففي هذه الحالة يتم إدخال اللوغريتم على الطرفين ثم إيجاد قيمة المتغيرات، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 10^(س+5) - 8 = 60؟
  - الحل:
  - ترتيب المعادلة لتصبح العبارة الأسية على طرف لوحدها، ثم إدخال لو₁₀ على الطرفين، وذلك كما يلي: لو 10^{(س + 5)} = لو 68.
  - (س+5) لو 10 = لو 68.
  - بما أن لو10₁₀ = 1 فإن (س+5) = لو 68، ومنه: س = لو68 - 5
  - باستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد لو68 فإن س = 3.1674- تقريباً.