books solving algebraic equations

عند حل المعادلات الجبرية تجب مراعاة الأمور الآتية:

• عند حل أي معادلة جبرية فإن الخطوة الأولى هي تجميع الحدود المتشابهة.
• يجب الحرص دائماً على إضافة، أو طرح نفس القيمة للطرفين عند حل المعادلات.
• للتخلص من الكسر فإنه يتم ضرب الطرفين بمقلوب الكسر.
• يجب الحرص دائماً على قسمة طرفي المعادلة بنفس العدد شريطة أن لا يكون مساوياً للصفر.
• في بعض الأحيان قد يتم تطبيق بعض الاقترانات على طرفي المعادلة لحلّها مثل تربيع الطرفين.
• في حال وجود قوس فإنه يتم توزيع الحدود على القوس قبل البدء في حل المعادلة الجبرية.
• لحل المعادلات الجبرية فإنه يتم تحليلها إلى عواملها بطرق مختلفة ثم إيجاد الحلول.
• بعض المعادلات الجبرية قد يكون لها نمط مميز، ويمكن حلّها بشكل مباشر وبطرق خاصة باستخدام قواعد معيّنة مثل: الفرق بين مربعين، والفرق بين مكعبين.

حل المعادلات الخطية

تعرف المعادلات الخطية (بالإنجليزية: Linear Equations) بأنها المعادلات التي تكون على الصورة ص = أ س+ب؛ أي تحتوي على متغير واحد وهو س، ويكون مرفوعاً للقوة واحد، ولا تحتوي عادة على متغيرات أكثر تعقيداً مثل: س²، أو س/ص، ويتم حلها عن طريق جعل المتغير المجهول على طرف، ونقل جميع الأعداد الأخرى على الطرف الآخر، للحصول على حل المعادلة في النهاية على صورة: س = عدد؛ حيث يمثل العدد حل هذه المعادلة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

• مثال: ما هو حل المعادلة س-3 = -5؟
  • الحل: يُقصد بحل المعادلة إيجاد قيمة س، ويمكن القيام بذلك كما يلي:
    • جعل العدد س على طرف، وباقي الأعداد على طرف آخر، وبالتالي فإنه يجب التخلص من العدد 3.
    • معكوس عملية الطرح هو الجمع، وبالتالي يجب إضافة العدد 3 للطرفين كما يلي: س-3+3 = -5+3
    • وبالتالي فإن حل المعادلة هو س = -2.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

حل المعادلات التربيعية

تُعرف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة العامة أ س² +ب س+جـ =0؛ حيث أ لا تساوي صفر، ويمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام مجموعة من الطرق:

• باستخدام القانون العام: يمكن استخدام القانون العام لحل أي معادلة تربيعية، وهو س = (-ب±المميز√)/ (2×أ)، حيث:
  • أ هو معامل س²، وب هو معامل س، وجـ هو الحد الثابت.
  • المميز = ب² - 4×أ×جـ، وإذا كان المميز سالباً فإن المعادلة التربيعية لا تحلّل؛ أي لا حلول لها، وإذا كان مساوياً للصفر فإن لها حلاً واحداً فقط، أما إن كان موجباً فللمعادلة التربيعية حلّان.
  • يقصد بإشارة ± أن القانون العام يتم تطبيقه مرتين؛ مرة بالجمع، ومرة بالطرح، وذلك لأن المعادلة التربيعية لها حلان في معظم الأحيان.

مثال: ما هو حل المعادلة س² - 5س = -6 باستخدام القانون العام؟

• • الحل:
  • ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد؛ أي تصبح المعادلة على الصورة القياسية، وذلك كما يلي: س²-5س+6 =0.
  • في هذه المعادلة إن أ = 1، و ب = -5، وجـ = 6، وبتطبيق القانون العام على المعادلة، ينتج ما يلي:
    • س = -(-5)±((-5)² - 4×1×6)√ / 2×1، ومنه: س = 5± (25-24)√/2، وهذا يعني أن س لها قيمتان:
      • إما س = (5+1)/ 2 = 6/2 = 3
      • أو س = (5-1)/ 2 = 4/2 = 2
  • حلول هذه المعادلة هي إما: س= 2، أو س= 3.

• باستخدام التحليل إلى العوامل: يمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل، التي لا يمكن استخدامها لحل جميع المعادلات، ويمكن توضيح هذه الطريقة باستخدام المثال الآتي:
• جد حل المعادلة التربيعية: س²- 4س+4 = 0، باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
  • الحل: الخطوة الأولى هي كتابة قوسين كما يلي:
    • ( س )( س ) = 0.
  • تحليل الحد الأخير (4) إلى عوامله؛ أي كتابة جميع الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد 4، وحساب مجموع كل عددين منها، وذلك كما يلي:
    • 4 : 2×2، مجموعهما 4.
    • 4 : 1×4، مجموعهما 4
    • 4 : -1×-4، مجموعهما -5.
    • 4 : -2×-2، مجموعهما 4-.
  • اختيار العددين اللذين يساوي مجموعهما العدد الأوسط وهو (-4)، وهما: -2،-2.
  • كتابة العددين اللذين تم اختيارهما في القوسين كما يلي:
    • (س-2)(س-2) =0.
  • يمكن إيجاد حلول المعادلة التربيعية عن طريق مساواة كل قوس من القوسين بالصفر، وذلك كما يلي:
    • س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
      • س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
  • هذا يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حل واحد، وهو س = 2.

ملاحظة: إذا كانت إشارة الحد الثابت موجبة فإن القوسين لهما نفس إشارة الحد الأوسط (أي معامل س)، وإذا كانت إشارة الحد الأخير (أي الثابت) سالبة فإن القوسين يكونا مختلفين في الإشارة.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

حل المعادلات التكعيبية

تعرف المعادلة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة: أس³+ب س² + جـ س + د =0، حيث أ لا تساوي صفراً، ويمكن إيجاد حل المعادلة التكعيبية باستخدام مجموعة من الطرق، ومنها القسمة التركيبية كما يلي:

• يجب في هذه الطريقة أولاً تجربة بعض الأعداد بشكل عشوائي في المعادلة التكعيبية عن طريق تعويضها مكان المتغير (س)، وفي حال العثور على عدد يحقق المعادلة؛ أي يجعلها مساوية للصفر فإنه يتم اعتباره كأول جذر لها، ثم الانتقال للخطوة التالية.
• قسمة المعادلة التكعيبية على الجذر وهو العدد الذي تم العثور عليه في الخطوة السابقة باستخدام القسمة التركيبية؛ لتنتج لدينا معادلة تربيعية، يمكن إيجاد جذورها باستخدام إحدى طرق حل المعادلة التربيعية، للحصول على جميع الحلول للمعادلة التكعيبية في النهاية، وذلك كما في المثال الآتي:

مثال: جد الحلول للمعادلة التكعيبية الآتية: 6س³-5س²-17س+6:

• الحل: لحل أي معادلة تكعيبية فإنه يجب العثور على عدد يجعل قيمتها مساوية للصفر عند تعويضه مكان المتغير (س)، وذلك كما يلي:
  • افتراض العدد 2 على أنه حل للمعادلة التكعيبية، وتعويضه فيها كما يلي:
  • 6×2³ - 5×2² - 17×2 +6=0، وهذا يعني أن العدد 2 يمثل أحد حلول المعادلة التكعيبية، ويُكتب كما يلي: (س-2).
  • قسمة المعادلة التكعيبية باستخدام القسمة التركيبية على (س-2) لتنتج لدينا المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، وبحل هذه المعادلة فإن س = 1/3، و 3/2-.
  • وهذا يعني أن جذور المعادلة التكعيبية هي: 1/3، و 3/2-، و2.
• أما عن القسمة التركيبية فهي تتم باتباع الخطوات الآتية:
  • التأكد من أن المقسوم، وهو المعادلة التكعيبية على الصورة العامة أي: أس³ + ب س² + جـ س + د=0
  • التأكد من أن المقسوم عليه على صورة (س-ل).
  • ترتيب معاملات المعادلة التكعيبية بشكل أفقي بجانب بعضهم البعض، ووضع العدد (ل) يسار إشارة القسمة التركيبية، أي ترتيب المسألة: 6س³-5س²-17س+6 قسمة (س-2) مثلاً كما يلي:

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

------------------------------

ــــ ـــــ ـــــ ــــــ |

• • كتابة المعامل الأول للمعادلة التكعيبية أي (أ) (وهو 6 هنا) أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

------------------------------

6 ـــــ ــــــ ــــــ |

• • ضرب المعامل الأول أي أ (وهو 6 هنا) بالعدد الموجود في اليسار أي ل (وهو 2 هنا)، ووضع الناتج أسفل المعامل الثاني أي أسفل ب (وهو -5 هنا) فوق الخط الأفقي، ثم إيجاد ناتج جمع هذا العدد (وهو 12 هنا) مع ب (وهي -5 هنا) وكتابة الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ــــ 12 ـــــ ـــــ |

------------------------------

6 7 ـــــــ ـــــــ |

• • ضرب ناتج الجمع الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة؛ أي (7) بالعدد ل (وهو 2 هنا) من جديد، وضع الناتج أسفل المعامل الثالث أي جـ (وهو -17 هنا) مباشرة وفوق الخط الأفقي، ثم جمعه مع جـ، ووضع الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.
  • تكرار العملية حتى الحصول على العدد صفر.
  • الأعداد الموجودة أسفل الخط الأفقي هي عوامل المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، التي تمثل ناتج عملية القسمة:

6 -5 -17 6 | 2

ــ 12 14 -6 |

------------------------------

6 7 -3 0 |

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التكعيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية (بالإنجليزية: Radical Equation) هي المعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية، أو تكعيبية، أو أية أنواع أخرى من الجذور، ويمكن حلها بسهولة عن طريق تربيع الطرفين إذا كان الجذر تربيعياً، وعن طريق تكعيب الطرفين إذا كان الجذر تكعيبياً، وهكذا، بعد ترتيب المعادلة ليصبح الجذر لوحده على أحد الطرفين، ويمكن توضيح كيفية حل هذه المعادلات باستخدام المثال الآتي:

• مثال: ما هو حل المعادلة الجذرية الآتية: (2س+9)√ - 5 = 0؟
  • الحل: يتم وضع الجذر التربيعي على طرف، وباقي الحدود على الطرف الآخر، وذلك كما يلي:
    • بإضافة العدد 5 للطرفين فإنّ (2س+9)√ = 5.
    • بما أن الجذر تربيعي فإنه يمكن التخلص منه بتربيع الطرفين كما يلي: ((2س+9)√)² = 5²، ومنه: 25 = 2س+9.
    • أصبحت لدينا معادلة خطية، ويمكن حلها بسهولة كما يلي: 2س= 25-9، 2س = 16، ومنه: س = 8، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة الجذرية.

ملاحظة: قد تحتوي بعض المعادلات الجذرية على أكثر من جذر، ويمكن حل هذه المعادلة عن طريق تكرار نفس الخطوات على كل جذر لوحده.

حل المعادلات النسبية

يمكن تعريف المعادلات النسبية (بالإنجليزية: Rational Equations) بأنها المعادلات التي تحتوي على حد نسبي (أي كسر) واحد على الأقل، وغالباً تحتوي على متغيرات في المقام، ويتم حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:

• مثال: حل المعادلة الآتية: 5/س - 1/3 = 1/س.
  • الحل:
    • يمكن ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك، وهو هنا: 3س، وذلك كما يلي:
    • 3س×(5/س - 1/3) = 3س×(1/س)، ومنه: 15-س = 3، ومنه: س = 12، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة.

• مثال: ما هو حل المعادلة: 2 - 1/ س(س+1) = 3/(س+1)؟
  • الحل:
  • يمكن ضرب طرفي المعادلة بـ س(س+1)، وهو أصغر مقام مشترك وذلك كما يلي:
    • س×(س+1)×(2 -1/س(س+1)) = س(س+1)×(3/(س+1))، وبتبسيط هذه المعادلة فإنّ: 2س(س+1)-1 = 3س
    • بتجميع الحدود نحصل على معادلة تربيعية هي: 2س²+2س-1 = 3س، وبتجميع الحدود لتصبح جميعها على طرف واحد ينتج ما يلي: 2س²-س-1 = 0.
    • بتحليل المعادلة التربيعية إلى عواملها ينتج ما يلي: (2س+1)(س-1) = 0.
    • وبالتالي فإن لهذه المعادلة حلان، وهما: س = -1/2، وس = 1.