books methods for solving exponential equations

• المعادلات الأُسيّة التي لها نفس الأساس: هي المعادلة التي يكون فيها الأساس متساوياً على طرفي إشارة التساوي، ومن الأمثلة على ذلك 4^س = 4 ⁹، ويتم حلها من خلال استخدام الحقيقة التي تنص على أنه عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى تلقائياً، وبالرموز:
  • إذا كانت المعادلة على الصورة أ^س = ب ^ص، وكان أ=ب، فإن س=ص.
    • ما هو ناتج حل المعادلة الأسية الآتية: 5 ^3س =5 ^{7س - 2}؟
    • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس تتساوى، وعليه: 3س=7س-2، وبحلها كالمعادلات الخطية بطرح (3س) من الطرفين، ينتج أن: 2 = 4س، ومنه: س= 1/2، ويمكن التحقق من الحل بتعويض قيمة س بطرفي المعادلة.

في بعض الأحيان إذا كانت الأساسات غير متساوية فإنه يمكن إعادة كتابة المعادلة الأسية لتصبح الأساسات متساوية فيها، وذلك إذا اشتركت فيما بينها بعامل مشترك، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

مثال: جد قيمة س في المعادلة الآتية: 27 ^{(4س + 1)} = 9 ^(2س).

يُلاحظ من المثال السابق أن الأساسات غير متساوية، ولكن العددين 27، و9 بينهما عامل مشترك، وهو 3، حيث إن: 27 = 3³ ،9 = 3².

بتعويض هذه القيم في المعادلة الأسية فإن: (³3)^{(4س + 1)} = (3²)^(2س)، وبتوزيع الأسس على القوس فإن: 3 ^{(12س + 3)} = 3 ^(4س).

بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإن الأسس تتساوى كما يلي: 12س+3 =4س، وبحل المعادلة الخطية ينتج أن: 8س=-3، س = 3/8-.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى

• المعادلات الأُسيّة التي ليس لها نفس الأساس: هي المعادلة التي تختلف في أساساتها، ويُصعب إعادة كتابتها لتصبح الأساسات متساوية فيها؛ مثل 7^س = 9، أي لا يمكن فيها إعادة كتابة الأساس بشكل آخر ليصبح متساوياً في النهاية، وعليه فإننا نحتاج إلى طريقة أخرى جديدة حتى نتمكن من حلها، والتي تتمثل باستخدام اللوغاريتمات، وذلك كما يلي:
  • إذا كانت المعادلة الأُسيّة على صورة: أ^س =جـ، فإنه يمكن حلها بإخال اللوغاريتم على الطرفين كما يلي: لو أ^س = لو جـ؛ حيث: أ، جـ: ثوابت، س: متغير.
  • ووفق خصائص اللوغارتيمات فإن: لو أ^س = س لو أ = لو جـ ، ومن الجدير بالذكر أنه قد يختلف أساس اللوغاريتم فقد يكون العدد 10، أو قد يكون العدد النيبيري هـ فيصبح لو_هـ، أو ما يعرف باللوغاريتم الطبيعي، ولتوضيح هذه الطريقة نطرح المثال الآتي:
    • مثال: ما هو حل المعادلة الأسية الآتية: 4 ^{(3 + س)} =25 ؟
      • يصعب إعادة كتابة المعادلة السابقة لتصبح الأساسات فيها متساوية، وبالتالي يتم إدخال اللوغاريتم على الطرفين كما يلي: لو 4^(3+س)=لو25، ووفق خاصية: لو أ^س = س لو أ فإن: (س+3) لو 4 = لو 25.
      • جعل المتغير س على طرف لوحده، وذلك بقسمة الطرفين على لو4 لينتج أن: 3+س = لو25/ لو4، ثم بطرح العدد 3 من الطرفين لينتج أن: س= لو25/ لو4 - 3.
      • باستخدام الآلة الحاسبة فإن: لو25= 1.3979، لو4 = 0.602، وبتعويض هذه القيم يمكن حساب قيمة س كما يلي: س = 1.3979/0.602-3= 2.322 - 3= -0.678.

• حل المعادلات الأسية التي تتضمن أعداداً صحيحة: في بعض الأحيان يمكن أن تحتوي المعادلة الأسية على أعداد صحيحة منفردة، تفصل بينها وبين التعابير الأسية إشارة طرح أو جمع، ولحلها يجب أولاً إعادة ترتيبها بجعل الأعداد الصحيحة لوحدها على طرف، والتعابير الأسية لوحدها على الطرف الآخر، وذلك ينطبق على الحالتين السابقتين؛ أي في حال حل المعادلات التي تتشابه في الأساس أو التي تختلف فيه؛ حيث يجب دائماً البدء بحل المعادلة بعد التأكد من أن التعابير الأسية تقع لمفردها على طرف، والثوابت الأخرى التي لا تحمل أسساً تقع على طرف آخر، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
  • مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 3^(س-5)-2 = 79؟
    • لحل هذه المعادلة يجب أولاً طرح العدد 2 من الطرفين لينتج أن: 3^(س-5)= 79+2، 3^(س-5)=81.
    • بما أن العدد 81 هو عبارة 3×3×3×3؛ أي 3⁴، فإنه يمكن حل المعادلة عن طريق توحيد الأساس، وذلك كما يلي: 3^(س-5)=3 ⁴، وبالتالي بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإن الأسس تتساوى كما يلي: س-5 = 4، وبحل هذه المعادلة فإن س= 9.