books various examples of solving equations with matrices

• المثال الأول: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 7س + 5ص = 3، و 3س - 2ص = 22 باستخدام طريقة معكوس المصفوفة؟
• الحل: يتم وضع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، والثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س، ثم تطبيق العلاقة الآتية المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:
  

| +7 +5 | |س| = | +3 |

| +3 −2 | |ص| = |+22 |

• إيجاد معكوس المصفوفة أ، ويساوي 1/ ((7×-2) - (3×5)) × المصفوفة الآتية:
  

| −2 −5 |

| −3 +7 |

• بتوزيع العدد -1/29 وهو ناتج 1/ ((7×-2) - (3×5)) على المصفوفة السابقة ينتج ما يأتي:
  

| +2/29 +5/29 |

| +3/29 −7/29 |

• بضرب طرفي العلاقة السابقة بمعكوس المصفوفة، ينتج ما يلي:
  

| 1 0 | × |س| = |+4|

| 0 1 | × |ص| = |−5|

• وبالتالي فإن قيمة س، وص على التوالي 4، و-5.

• المثال الثاني: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 2س-2ص-3 =0، 8ص = 7س+2 باستخدام طريقة معكوس المصفوفة؟
• الحل: ترتيب المعادلتين بحيث تصبح المتغيرات على طرف، والثوابت على طرف آخر، وذلك كما يلي:
  • 2س -2ص = 3.
  • 7س-8ص = -2.
• وضع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، والثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س ثم تطبيق العلاقة: المصفوفة أ×المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:
  

| +2 −2 | × |س| = |+3|

| +7 −8 | × |ص| = |−2|

• إيجاد معكوس المصفوفة (أ)، ويساوي -1/2× المصفوفة الآتية:
  

| −8 +2 |

| −7 +2 |

• بتوزيع العدد -1/2 على المصفوفة السابقة ينتج ما يلي:
  

| + 4 −1 |

|+3.5 −1 |

• ضرب طرفي العلاقة السابقة بمعكوس المصفوفة أ، لينتج ما يلي:
  

| 1 0 | × |س| = | +41 |

| 0 1 | × |ص| = |+12.5|

• • وبالتالي فإن س =14، وقيمة ص = 12.5.

• المثال الثالث: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 3س+4ص = 5، 2س-ص = 7 باستخدام طريقة الحذف؟
• الحل: ترتيب المعادلتين في المصفوفة بحيث تكون معاملات المتغير س في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، والثوابت في العمود الثالث، وذلك كما يلي:
  

| +3 +4: +5 |

| +2 −1: +7 |

• استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب  : جـ |

| 0 د  : ي |

• بضرب كل عنصر في الصف الثاني بالعدد (-3)، وكل عدد بالصف الأول بالعدد (2) وجمع الصفين معاً تنتج المصفوفة الآتية:
  

| + 3 + 4 : + 5 |

|صـفر +11 :−11 |

• تمثّل المصفوفة السابقة معادلتان هما: 3س +4ص = 5، 11ص = -11، و وبالتالي فإن ص = -1، وبتعويض قيمة ص في المعادلة الأولى فإن قيمة س = 3.

• المثال الرابع: ما هو حل المعادلات الآتية: س+ص+ع = 3، س+2ص+3ع = 0، س+3ص+2ع = 3 باستخدام طريقة الحذف؟
• الحل: وضع معاملات المتغير س في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، ومعاملات المتغير ع في العمود الثالث، والثوابت في العمود الرابع لتنتج المصفوفة الآتية:
  

| +1 +1 +1 : + 3 |

| +1 +2 +3 : صـفر|

| +1 +3 +2 : + 3 |

• استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب جــــ : د | صف (1)

| 0 ي ف: ق | صف (2)

| 0 0 هـــ : و | صف (3)

• لتحقيق ذلك يجب طرح قيمة كل عنصر في الصف الثاني من الصف الأول، ووضع قيمتها في الصف الثاني، لتنتج المصفوفة الآتية:
  

| + 1 +1 +1 : +3 |

|صـفر +1 +2 : −3 |

| + 1 +3 +2 : +3 |

• طرح قيمة كل عنصر في الصف الثالث من الصف الأول، ووضع قيمته في الصف الثالث، وذلك كما يلي:
  

| + 1 +1 +1 : + 3 |

|صـــفر +1 +2: − 3 |

|صـفر +2 +1: صـفر |

• ضرب كل عنصر في الصف الثاني بالعدد 2، ثم طرح قيمة كل عنصر في الصف الثاني من الصف الثالث، ووضع قيمته في الصف الثالث، وذلك كما يلي:
  

| + 1 +1 +1 : + 3 |

|صـفر +1 +2 : − 3 |

|صفر صفر −3 : +6 |

• من المصفوفة السابقة يتشكل لدينا ثلاثة معادلات، وهي: س+ص+ع = 3، ص+2ع = -3، -3ع = 6.
  • وبالتالي فإن ع = -2.
  • بتعويض قيمة ع في المعادلة الثانية فإن ص = 1.
  • بتعويض قيمة ع، وص في المعادلة الأولى فإن س = 4.

لمزيد من المعلومات حول طرق حل المعادلات يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلات الجبرية.