books various examples of logarithms

• المثال الأول: مستعيناً بخصائص اللوغاريتمات جد ناتج كل ممّا يأتي: أ) لو₄ 16 ب) لو₂ 16 جـ) لو₆ 216 د) لو₅ (125/1) هـ) لو_(3/1) 81 و) لو_(2/3) (8/27)؟
• الحل:
• أ) لإيجاد لو₄ 16 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي الذي عند رفع الأساس 2 به يعطي ناتج يساوي 16، وعليه: إنّ 4 ² = 16، وبالتالي فإن لو₄ 16 = 2.

• ب) لإيجاد لو₂ 16 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 2 به يكون الناتج 16، وعليه: إنّ 2 ⁴ = 16، وبالتالي فإنّ: لو₂ 16 = 4.

• جـ) لإيجاد لو₆ 216 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 6 به يكون الناتج 216، وعليه: إنّ 6 ³ = 216، وبالتالي فإن لو₆ 216 = 3.

• د) لإيجاد ناتج لو₅ (1/125) فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 5 به يكون الناتج 1/125، وبما أن الناتج كسر فإن الأس هو عدد صحيح سالب، وعليه: 1/125 = 1/5³ = 5^-3، وبالتالي فإن لو₅ (1/125) = -3.

• هـ) لإيجاد ناتج لو_{(1 /3)} 81 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 1/3 به يكون الناتج 81، وعليه: إنّ 3 ⁴ = 81، وبالتالي فإن: (1/3)^-4 = ⁴3= 81، وبالتالي فإنّ لو_1/3 81 = -4.

• و) لإيجاد ناتج لو_(3/2) (27/8) فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس (3/2) به يكون الناتج (27/8)، وعليه إنّ: (3/2)³ = 3³/ 2³ = 27/8، وبالتالي فإنّ لو_(3/2)(27/8) = 3.

• المثال الثاني: ما هو ناتج كل من اللوغريتمات الآتية: أ) لو₄ 256 ب) لو₅ (0.0016) جـ) لو₃ 729 د) لو₂ (0.015625)؟
• الحل:
• أ) لإيجاد لو₄ 256 فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 4 به يكون الناتج 265، وبما أنّ 4⁴ = 256 فإنّ لو₄ 256 = 4.

• ب) لإيجاد لو₅ (0.0016) فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 5 به يكون الناتج 0.0016 وهو سالب، وذلك لأن النتيجة كسر، وبما أنّ (1/5) ⁴ = 5 ^-4 = 1/625، وهو مكافئ للكسر العشري 0.0016، وبالتالي فإنّ: لو₅ (0.0016) = -4.

• جـ) لإيجاد لو₃ 729 فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 3 به يكون الناتج 729، وبما أن 3⁶ = 729 فإن لو₃ 729 = 6.

• د) لإيجاد لو₂ (0.015625) فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 2 به يكون الناتج 0.015625، وبما أنّ (1/2)⁶ = 2^-6 = 1/64، وهو مكافئ للكسر العشري 0.015625، فبالتالي فإنّ: لو₂ (0.015625) = -6.

• المثال الثالث: مستعيناً بخصائص اللوغريتمات جد أبسط صورة لكلًّ مما يلي: أ) لو₄ (س³ ص⁵) ب) لو (س⁹ ص⁵/ل³) جـ) لو_هـ (س×ص)√ د) لو₃ ((س+ص)²/(س²+ص²))؟
• الحل:
• أ) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
  • لو₄ (س³×ص⁵) = لو₄ (س³) + لو₄ (ص⁵)، ومنه:
  • 3×لو₄ س + 5×لو₄ ص.

• ب) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
  • لو (س⁹ ص⁵ / ل³) = لو (س⁹ ص⁵) - لو ل³، ومنه:
  • لو(س⁹ ص⁵) - لو ل³ = لو س⁹ + لو ص⁵ - لو ل³، وهذا يساوي 9لو س + 5لو ص - 3لو ل.

• جـ) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
  • لو_هـ (س×ص)√ = لو_هـ (س×ص)^(1/2، ومنه:
  • (1/2)×لو_هـ (س×ص)، ومنه:
  • (1/2)×(لو_هـ س + لو_هـ ص).
  • د) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
  • لو₃ ((س+ص)²/(س²+ص²)) = لو₃ (س+ص)² - لو₃ (س² + ص²)، ومنه:
  • 2لو₃ (س+ص) - لو₃ (س²+ص²).

• المثال الرابع: اكتب كلاً من اللوغريتمات الآتية على شكل لوغاريتم واحد باستخدام خصائص اللوغاريتم: أ) 7لو₁₂ س+2لو₁₂ ص ب) 3لوس - 6لوص جـ) 5لو_هـ (س+ص) - 2لو_هـ ص - 8لو_هـ س؟
• الحل:
  • أ) 7لو₁₂ س + 2لو₁₂ ص = لو₁₂ س⁷ + لو₁₂ ص² = لو₁₂ (س⁷×ص²).
  • ب) 3لوس - 6لوص = لو س³ - لو ص⁶ = لو (س³/ص⁶).
  • جـ) 5لو_هـ (س+ص) - 2لو_هـ ص - 8لو_هـ س = لو_هـ (س+ص)⁵ - (لو_هـ ص² + لو_هـ س⁸) = لو_هـ (س+ص)⁵ - لو_هـ (ص²×س⁸) = لو_هـ ((س+ص)⁵ / (ص²×س⁸))

• المثال الخامس: ما هو ناتج اللوغاريتم الآتي: لو₇ 118؟
  • الحل:
  • لإيجاد ناتج اللوغاريتم فإننا نحتاج إلى إيجاد الأس الذي عند رفع الأساس 7 به يُعطي النتيجة 118، وهو أمر يصعب إيجاده دون الاستعانة بالآلة الحاسبة، ولذلك يجب أولاً استخدام خاصية تغيير الأساس: لو_ب أ = لو₁₀ أ/لو₁₀ ب كما يلي:
    • تغيير الأساس للعدد 10 ليصبح اللوغاريتم عشرياً كما يلي: لو₇ 118 = لو₁₀ 7 / لو₁₀ 118، وبإيجاد القيم باستخدام الآلة الحاسبة ينتج أنّ:
    • لو₁₀ 7/لو₁₀ 118 = 2.07/0.845 = 2.45.

• المثال السادس: باستخدام خصائص اللوغاريتم جد ناتج المعادلة اللوغاريتمية الآتية: لو₆ (ن-3) + لو₆ (ن+2) = لو₃ 3؟
  • الحل:
  • وفق خصائص اللوغاريتم فإنّ:
    • لو₃ 3 = 1
    • لو₆ (ن-3) + لو₆ (ن+2) = لو₆ (ن-3)(ن+2).
    • ممّا سبق تصبح المعادلة: لو₆ (ن-3)(ن+2) = 1.
  • بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية حتى يسهل حلها، ينتج ما يلي:
    • 6 ¹ = 6 = (ن-3)(ن+2).
    • بضرب القوسين ببعضهما فإنّ: (ن-3)(ن+2) = ن²-ن-6 =6، وبالتالي تصبح المعادلة ن²-ن- 12 = 0
    • تحليل المعادلة التربيعية كما يلي: ن²-ن- 12 = 0 = (ن-4)(ن+3)، وبالتالي فإنّ ن لها قيمتان، هما: ن= 4 وهي الإجابة الصحيحة، أو ن= -3، وتُلغى لأنّ اللوغاريتم يصبح سالباً عند تعويض قيمة ن=-3 فيه؛ فالمعادلة عند تعويض ن = -3 فيها تصبح: لو₆ (-6) + لو₆ (-1) = لو₃ 3.

• المثال السابع: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية: لو_س125×5√= 7؟
  • الحل:
  • تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية كما يلي:
    • س⁷ = 125×5√ = 5×5×5×5√.
  • بما أنّ: 5 = 5√×5√ فإنّ:
    • (5√×5√)×(5√×5√)×(5√×5√)×5√ = س ⁷، وعليه: (5√) ⁷ = س⁷.
  • عندما تتساوى الأسس فإن الأساسات تتساوى، وبالتالي فإنّ قيمة س = 5√.

• المثال الثامن: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية الآتية: لو_س 0.001 = -3؟
  • الحل:
  • تحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى معادلة أسية كما يلي:
    • س ^-3 = 0.001، ومنه: 1/1000 = 1/س ³
    • بمساواة مقام الطرفين فإنّ: 1000 = س³، وبأخذ الجذر التكعيبي للطرفين فإن س = 10.

• المثال التاسع: جد قيمة س فيما يأتي: س + 2×لو₂₇ 9 = 0؟
  • الحل:
  • ترتيب المعادلة بجعل المتغير س على طرف، والباقي على الطرف الآخر كما يلي: س = -2×لو₂₇ 9، وبالتالي:
    • باستخدام خصائص اللوغاريتم فإن س = لو₂₇ 9 ^-2
  • تحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى معادلة أسية كما يلي:
    • 27 ^س = 9 ^-2
    • 3 ^3س = (3 ²)^-2
    • 3 ^3س = 3 ^-4
  • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية، وبالتالي فإنّ: 3س = -4، ومنه: س = -4/3.

• المثال العاشر: إذا كانت 3س تساوي اللوغاريتم لو (0.3) الذي أساسه 9، فما هي قيمة س؟
  • الحل:
  • من معطيات السؤال فإنّ: 3س = لو₉ (0.3)، وبالتالي فإنّ: 3س = لو₉ (1/3)، باستخدام خصائص اللوغاريتم فإنّ: 3س = لو₉ 1 - لو₉ 3، ومنه:
    • 3س = 0 - لو₉ 3 = -لو₉ 3.
    • بإيجاد مقلوب اللوغاريتم 3س = -1/ لو₃ 9، 3س = -1/لو₃ 3 ²، ومنه:
    • 3س = -1/2×لو₃ 3 = -1/(2×1)، س= -1/6.

• المثال الحادي عشر: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية الآتية: 2لوس = 4لو3؟
  • الحل:
  • بقسمة طرفي المعادلة على 2 فإنّ: لو س = 2 لو3، ومنه:
    • لوس = لو 3²، لوس = لو9، س = 9.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حل المعادلة الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.