books quadratic equation analysis methods

يمكن تعريف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تظهر بالصيغة العامّة الآتية:

• أس² + ب س + ج = 0؛ حيث إنّ:
  • أ، ب، ج عبارة عن أعداد، قد تكون موجبة أو سالبة ويمكن للأعداد (ب، ج) أن تساوي صفراً، ويُطلق على العدد أ مُعامل س²، ب مُعامل س، ج الحدّ الثابت، وأعلى قيمة ممكنة لأس المتغيّر س في المعادلة التربيعية هو 2، وتُعدّ العبارات الآتية أمثلة على العبارات التربيعيّة:
    • س²-7س+11.
    • 4س²+3س-1.
    • س²+8س.
    • 3س²+2.

أما بالنسبة لعمليّة تحليل المعادلة التربيعية إلى العوامل فهي تتمثل في جعل المعادلة التربيعيّة تبدو على شكل حاصل ضرب حدّين أو أكثر وبأبسط صورة، والأمثلة الآتية توضح عمليّة تحليل العوامل:

• يُمكن تمثيل المعادلة التربيعيّة: 2س²+10س على الشكل الآتي: 2س(س+5)؛ حيثُ تمّ أخذ 2س كعامل مُشترك، فأصبحت العبارة التربيعة تساوي حاصل ضرب الحدّ 2س بالحدّ (س+5).
• يُمكن تمثيل المعادلة التربيعيّة: س²-16 على الشكل الآتي: (س-4)(س+4).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حلّ المُعادلة التربيعيّة يُمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية، طرق حل المعادلات الجبرية.

طريقة التخمين

يتم من خلال هذه الطريقة تحليل المعادلات التربيعية عندما تكون على الصورة القياسيّة: أس²+ب س+ج=0 عن طريق إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج، وفي بعض الحالات قد تكون المُعادلة التربيعيّة أكثر تعقيداً مما يتطلب استخدام طرق أخرى تتمثل باستخدام الصيغة العامّة، أو إكمال المُربع، وفيما يأتي توضيح لاستخدام طريقة التخمين لتحليل المعادلة التربيعية:

• تحليل المعادلة التربيعيّة عندما يكون أ=1 يكون على النحو الآتي:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي ج.
  • كتابة المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س+ك)(س+ل)؛ حيثُ يُمثل ك، ل العددين اللذين تمّ إيجادهما في الخطوة السابقة؛ فمثلاً إذا كان العددان هما: 1، -2 فإن المعادلة التربيعيّة تُكتب على النحو الآتي: (س+1)(س-2).
• فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س²+س-6=0، أولاً يتمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 1، وناتج ضربهما يساوي -6، وهما: -2، 3، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي (س+ك)(س+ل)، وذلك كما يأتي: س²+س-6=(س-2)(س+3)=0.

• تحليل المعادلة التربيعيّة عندما يكون أ≠1 يكون على النحو الآتي:
  • إيجاد حاصل ضرب أ×ج.
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج، ولنفترض أنهما العددان ك،ل.
  • كتابة العددين مكان ب على شكل مجموع عددين مضروبين في س؛ أي استبدال الحد (ب س)، بـ (ك+ل)س، لتصبح المعادلة على شكل: أس²+(ك+ل)س+ج=0، ثم على شكل: أس²+ك س+ل س+ج=0، بعد فك الأقواس.
  • تحليل أول حدّين، وهما: (أس²+ك س)، وذلك بأخذ العامل المشترك بينهما، ثمّ تحليل آخر حدّين، وهما: (ل س+ج)، وذلك أيضاً بأخذ العامل المشترك بينهما.
  • أخذ عامل مُشترك لكتابة المُعادلة التربيعيّة على صورة حاصل ضرب حدّين.
• فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 4س²+15س+9=0، أولاً يتمّ إيجاد حاصل ضرب 4×9=36، ثمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 15، وناتج ضربهما يساوي 36، وهما 3، 12، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي: 4س²+3س+12س+9=0، بعدها يتمّ تحليل أول حدّين؛ حيثُ يُؤخذ س كعامل مشترك، وآخر حدّين؛ حيثُ يؤخذ العدد 3 كعامل مُشترك، ثمّ تُكتب على الصورة الآتية: س(4س+3)+3(4س+3)=0، ثمّ يتمّ أخذ الحد (4س+3) كعامل مُشترك وتُكتب المُعادلة على النحو الآتي: (4س+3)(س+3)=0.

الفرق بين مربعين

يُمثّل الفرق بين مربعين حاصل طرح مربع عدد أو متغير من مربع عدد أو متغير آخر، وهي حالة خاصة من المعادلات التربيعية، وصورتها العامة هي: أ²-ب²؛ مثل: س²-36، ولتحليلها يمكن كتابتها على النحو الآتي:

• أ²-ب²=(أ+ب)(أ-ب)؛حيث:
  • أ: الجذر التربيعي للحد الأول.
  • ب: الجذر التربيعي للحد الثاني.
• فمثلاً لتحليل المعادلة: س²-16، يمكن كتابتها بسهولة بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول، وللحد الثاني على شكل: س²-16=(س-4)(س+4)، ولتحليل 4س²-36، يمكن كتابتها بسهولة بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول، وللحد الثاني على شكل: (2س-6)(2س+6)=0

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل الفرق بين مربعين يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين.

الصيغة العامة

تُستخدم الصيغة العامّة عندما تفشل الطرق السابقة في تحليل المُعادلة التربيعيّة وتكون الصيغة العامُة على الشكل الآتي:

• س= (-ب ±(ب²-4أج)√)/2أ.

وتُستخدم هذه الصيغة للحصول على إجابتين؛ الأولى (س+) والثانية (س-)، وهذا ما تُشير إليه إشارة ±، تستخدم لكتابة المُعادلة على صورة: أ(س-س-)(س-س+).

• فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة التالية: 6س²+5س-6 يتمّ تعويض أ=6، ب=5، ج=6-، في قانون الصيغة العامّة لينتج أنّ: س= (-5 ±(5²-4×6×6-)√)/(2×6)، ومنه: س=-5±12/13، فبالتالي: س-=18/12-=3/2-، س+= 8/12 =2/3، ثمّ يتمّ تعويض هاتين القيمتين وكتابة المعادلة التربيعية على الصورة: أ(س-س-)(س-س+)، لينتج أن: 6س²+5س-6=6(س+3/2)(س-2/3)، ثمّ يمكن كتابة المعادلة بصورة أخرى لينتج أن: 6س²+5س-6=6(س+3/2)(س-2/3)=2×(س+3/2)×3×(س-2/3)=(3س-2)(2س+3).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل المُعادلات يُمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل كثيرات الحدود.