books from classical mechanics to general relativity

يمكن فهم النسبية العامة من خلال دراسة أوجه التشابه والاختلافات بينها وبين الفيزياء الكلاسيكية. الخطوة الأولى هي إدراك أن الميكانيكا الكلاسيكية وقانون نيوتن للجاذبية يعترفان بالوصف الهندسي. الجمع بين هذا الوصف وقوانين النسبية الخاصة يؤدي إلى استنتاج ارشادي للنسبية العامة.

هندسة الجاذبية النيوتنية

في قاعدة الميكانيكا الكلاسيكية يوجد مفهوم أن حركة الجسم يمكن وصفها بأنها مزيج من الحركة الحرة (أو القصور الذاتي)، والانحرافات من هذه الحركة الحرة. هذه الانحرافات تسببها قوة خارجية تعمل على جسم وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة، الذي ينص على أن القوة الصافية التي تعمل على الجسم تساوي كتلة هذا الجسم (القصور الذاتي) مضروبة في تسارعها. ترتبط حركات القصور الذاتي بهندسة الزمن والمكان: في الإطارات المرجعية القياسية للميكانيكا الكلاسيكية، تتحرك الأشياء في حركة حرة على طول الخطوط المستقيمة بسرعة ثابتة. وفي اللغة الحديثة، فإن مساراتها جيوديسية، خطوط العالم المستقيمة في الزمكان المنحني.

وعلى العكس، قد يتم توقع أنه بمجرد تحديد الحركات بالقصور الذاتي من خلال مراقبة الحركات الفعلية للأجسام والسماح للقوى الخارجية (مثل الكهرومغناطيسية والاحتكاك)، بأنه يمكن استخدامها لتحديد هندسة المكان، وكذلك إحداثية الزمن. ولكن سيكون هناك التباس بمجرد أن تظهر الجاذبية، وفقًا لقانون نيوتن للجاذبية، والتحقق منه بشكل مستقل من خلال تجارب مثل تلك التي قام بها أوتڤوش وخلفاءه مثل تجربة أوتڤوش، فهناك شمولية السقوط الحر (معروفة أيضًا باسم مبدأ التكافؤ الضعيف، أو المساواة الشاملة بين القصور الذاتي وكتلة الجاذبية-السلبية): يعتمد مسار جسم الاختبار فقط على وضعه وسرعته الأولية، ولكن ليس على أي من خصائصه المادية. يتم تجسيد نسخة مبسطة من هذا في تجربة مصعد أينشتاين، كما هو موضَّح في الرسم على اليسار: بالنسبة لمراقِب موجود في غرفة صغيرة مغلقة، من المستحيل أن يقرر عن طريق رسم مسار الأجسام مثل كرة مُسقَطة، ما إذا كانت الغرفة موجودة في حقل جاذبية أو في الفضاء الحر على متن صاروخ يتسارع بمعدَّل حقل الجاذبية.

بالنظر إلى شمولية السقوط الحر، لا يوجد تمييز ملحوظ بين حركة القصور الذاتي والحركة تحت تأثير قوة الجاذبية. هذا يشير إلى فئة جديدة من القصور الذاتي، وهي عن السقوط الحر للأشياء تحت تأثير الجاذبية. هذه الفئة الجديدة من الحركات المفضلة تحدد أيضًا هندسة المكان والزمن؛ وفي المصطلحات الرياضية، هي الحركة الجيوديسية التي ترتبط باتصال معين والتي تعتمد على تدرج جهد التثاقل. أما المكان، في هذا البناء، فلا يزال لديه الهندسة الإقليدية العادية. ومع ذلك، الزمكان ككل هو أكثر تعقيدًا، كما هو مبَيَّن باستخدام تجارب فكرية بسيطة تتبع مسارات السقوط الحر لجسيمات الاختبار المختلفة، فإن نتيجة نقل متجهات الزمكان التي يمكن أن تدل على سرعة الجسيم (متجهات شبيه الزمن) ستختلف مع مسار الجسيم؛ ورياضيًا، فإن الاتصال النيوتني غير قابل للتكامل. ومِن هذا، يمكن استنتاج أن الزمكان هو منحني. إن نظرية نيوتن-كارتان الناتجة هي صياغة هندسية للجاذبية النيوتنية باستخدام مفاهيم متغايرة فقط، أي وصف صالح في أي نظام إحداثي مرغوب. وفي هذا الوصف الهندسي ترتبط تأثيرات المد والجزر - التسارع النسبي للأجسام في السقوط الحر - بمشتق الاتصال، مما يوضح كيف أن الهندسة المعدَّلة سبَبها وجود الكتلة.

التعميم النسبي

على الرغم من أن الهندسة النيوتنية مثيرة للاهتمام، فإن أساسها الذي هو الميكانيكا الكلاسيكية، مجرد حالة حدية للميكانيكا النسبية (الخاصة). وبلغة التناظر: حيث يمكن إهمال الجاذبية، تكون الفيزياء لا متغيرة لورينتز كما في النسبية الخاصة بدلًا من لا متغيرة جاليلي كما في الميكانيكا الكلاسيكية. (التناظر المحدد للنسبية الخاصة هو زمرة پوانكاريه، الذي يشمل الترجمات والدورانات والدفعات). تصبح الاختلافات بين الاثنين مهمة عند التعامل مع السرعات التي تقترب من سرعة الضوء، ومع الظواهر ذات الطاقة العالية.

ومع تناظر لورينتز تدخل البنيات الإضافية اللعبة. يتم تعريفها من خلال مجموعة من المخاريط الضوئية (انظر الصورة)، تحدد المخاريط الضوئية بنية سببية: لكل حدث A، هناك مجموعة من الأحداث التي - من حيث المبدأ - إما أن تؤثر أو أن تتأثر بالـ A عبر إشارات أو تفاعلات لا تحتاج إلى السفر أسرع من الضوء (مثل الحدث B)، ومجموعة من الأحداث حيث يكون مثل هذا التأثير مستحيلًا (مثل الحدث C). هذه المجموعات مستقلة عن المراقِب. وبالاقتران مع الخطوط العالمية للجسيمات المتساقطة سقوطًا حرًا، يمكن استخدام المخاريط الضوئية لإعادة بناء مترية الزمن-المكان شبه الريمانية، على الأقل حتى عامل قياسي إيجابي. وفي المصطلحات الرياضية، هذا يحدد بنية متوازية أو هندسة متوازية.

يتم تعريف النسبية الخاصة في غياب الجاذبية، لذلك فبالنسبة للطبيقات العملية هي نموذج مناسب كلما أمكن إهمال الجاذبية. فعند وضع الجاذبية في الاعتبار، وافتراض شمولية السقوط الحر؛ ينطبق المنطق المماثل كما في القِسم السابق: لا يوجد إطار مرجعي قصوري شامل، وبدلًا من ذلك هناك إطارات قصورية تقريبية تتحرك جنبًا إلى جنب مع الجسيمات المتساقطة سقوطًا حرًا. وبالترجمة إلى لغة الزمكان: الخطوط المستقيمة لشبيه الزمن التي تحدد الإطار القصوري الخالي من الجاذبية تتشوه إلى خطوط منحنية بالنسبة لبعضها البعض، مما يشير إلى أن تضمين الجاذبية يستلزم تغييرًا في هندسة الزمكان.

في البداية، ليس واضحًا ما إذا كانت الإطارات المحلية الجديدة في السقوط الحر تتزامن مع الأطر المرجعية التي تسري عليها قوانين النسبية الخاصة؛ هذه النظرية مبنية على انتشار الضوء، وبالتالي على الكهرومغناطيسية، التي يمكن أن يكون لها مجموعة مختلفة مع الإطارات المفضلة. ولكن باستخدام افتراضات مختلفة حول أطر النسبية الخاصة (مثل كونها ثابتة على الأرض، أو في السقوط الحر)، يمكن استنتاج تنبؤات مختلفة عن الانزياح الأحمر الجذبوي، أي الطريقة التي يتحول بها انتشار الضوء عبر حقل الجاذبية (انظر أدناه). وتشير القياسات الفعلية إلى أن أطر السقوط الحر هي تلك التي ينتشر فيها الضوء كما يحدث في النسبية الخاصة. يُعرف تعميم هذا البيان، أي أن قوانين النسبية الخاصة لها تقدير تقريبي في أطر السقوط الحر المرجعية (وغير الدورية) بمبدأ تكافؤ أينشتاين، وهو مبدأ توجيهي حاسم لتعميم فيزياء النسبية الخاصة لكي تشمل الجاذبية.

تُظهر البيانات التجريبية نفسها أن الزمن كما يُقاس بواسطة الساعات الموجودة في حقل الجاذبية - الزمن المُحقَّق، لإعطاء المصطلح التقني - لا يتبع قواعد النسبية الخاصة. وفي لغة هندسة الزمكان لا يتم قياسه بواسطة مترية مينكوفسكي. وكما في الحالة النيوتنية، هذا يوحي بوجود هندسة أكثر عمومية. وفي المقاييس الصغيرة، جميع الأطر المرجعية الموجودة في السقوط الحر هي متكافئة، ومينكوفسكية تقريبًا. وبالتالي، نحن نتعامل الآن مع تعميم منحني لمكان مينكوفسكي. إن الموتر المتري الذي يحدد الشكل الهندسي - بشكل خاص، كيف يتم قياس الأطوال والزوايا - ليس مترية مينكوفسكي الخاصة بالنسبية الخاصة، وإنما هو تعميم يُعرف بمترية ريمانية زائفة أو شبه زائفة. بالإضافة إلى ذلك، ترتبط كل مترية ريمانية بنوع معين من الاتصال بشكل طبيعي، اتصال ليڤي-سيڤيتا هو في الواقع الاتصال الذي يرضي مبدأ التكافؤ ويجعل المكان مينكوفسكيًا محليًا (أي في الإحداثيات القصورية الذاتية المحلية المناسِبة، المترية هي مينكوفسكية، وتختفي مشتقاتها الجزئية الأولى ومعاملات الاتصال).

معادلات أينشتاين

وبصياغة النسبوية، وهي النسخة الهندسية لتأثيرات الجاذبية، تبقى مسألة مصدر الجاذبية. ففي الجاذبية النيوتنية المصدر هو الكتلة. وفي النسبية الخاصة تصبح الكتلة جزءًا من كمية أكثر عمومية تسمى موتر الإجهاد-الزخم، الذي يشمل كل من كثافة الطاقة والزخم وكذلك الإجهاد: الضغط والقص. وباستخدام مبدأ التكافؤ، يتم تعميم هذا الموتر بسهولة على الزمكان المنحني. وبالاعتماد أكثر على مزيد من التشابه مع الجاذبية النيوتنية الهندسية، من الطبيعي أن نفترض أن معادلة الحقل للجاذبية ترتبط بهذا الموتر وموتر ريتشي، الذي يصف فئة معينة من تأثيرات المد والجزر: التغير في الحجم لسحابة صغيرة من جسيمات الاختبار التي هي في راحة في البداية، ثم تسقط سقوطًا حرًا. في النسبية الخاصة، يتوافق حفظ الطاقة مع القول بأن موتر زخم الطاقة خالٍ من التباعد. هذه الصيغة يتم تعميمها أيضًا بسهولة للزمكان المنحني من خلال استبدال المشتقات الجزئية بنظيراتها متعددة الشعب المنحنية، المشتقات المتغايرة التي دُرست في الهندسة التفاضلية. مع هذا الوضع الإضافي؛ وهو التباعد المتغاير لموتر الإجهاد-الزخم، ومن ثم أيًا كان على الجانب الآخر من المعادلة، فهو صفر؛ أبسط مجموعة من المعادلات هي التي تُسمى معادلات (حقل) أينشتاين:

على الجانب الأيسر موتر أينشتاين، وهو مزيج محدد من موتر ريتشي خالٍ من التباعد والمترية. حيث أن متناظر، بشكل خاص.

هو سلم الانحناء. موتر ريتشي نفسه مرتبط بعموم موتر انحناء ريمان:

على الجانب الأيمن، هو موتر الاجهاد-الزخم. كل الموترات مكتوبة بترميز فهرسي مختصر. بمطابقة تنبؤ النظرية بالنتائج المرصودة للمدارات الكوكبية، أو بشكل مكافئ، مع ضمان أن حد الجاذبية المنخفض والسرعة المنخفضة هو الميكانيكا النيوتنية، يمكن تثبيت ثابت التناسب كـ κ = 8πG/c⁴ مع G هو ثابت الجاذبية وc هي سرعة الضوء. عندما لا تكون هناك مادة حاضرة، فإن موتر الطاقة-الزخم يختفي، النتائج هي معادلات أينشتاين الفراغية،

بدائل النسبية العامة

هناك بدائل للنسبية العامة مبنية على نفس الأسس، والتي تشمل قواعد وأو قيود إضافية، تؤدي إلى معادلات حقل مختلفة. من الأمثلة: نظرية برانز-ديك وجاذبية f(R) ونظرية وايتهيد ونظرية أينشتاين-كارتان.