books linear integration of a scalar field
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
التكامل الخطي لمجال قياسي (Info)
يمكن تفسير التكامل الخطي على مجال قياسي بأنه المساحة تحت المجال المنحوتة بمنحنى معين. تخيل السطح المنشأ بـz = f(x,y) والمنحنى C في المستوى x-y. يكون التكامل الخطي لـf هو المساحة الناتجة من نقش هذه النقاط على السطح C مباشرة.
تعريف
إذا كان لدينا مجال قياسي f : U ⊆ Rn → R, يعرف التكامل الخطي على منحنى C ⊂ U is على أنه
حيث
r: [a, b] → C تقابل بارامتري للمنحنى C بحيث أن r(a) وr(b) يعطي النقاط الطرفية لـC.
الاشتقاق
باستخدام التعاريف السابقة لـf, C وصورتها البارامترية r(t) يمكن إنشاء التكامل من مجموع ريمان وذلك بتقسيم الفترة [a,b] إلى n فترة طولها Δt = (b − a)/n. وبجعل tiالنقطة الـi على [a,b], بالتالي r(ti) تعطينا موقع النقطة i على المنحنى. ونكون قد قربنا المنحنى C بمسار مضلع.
وبما أن المسافة بين كل نقطتين متجاورتين هي:
وبتعويضها في مجموع ريمان
وهذا هو مجموع ريمان للتكامل
