books surface integration of standard domains
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
التكامل السطحي للمجالات القياسية (Info)
لنعتبر السطح S والذي عليه يعرف عليه مجال قياسي f. لو تخيلنا السطح S قد صنع من مادة ما، ولكل نقطة x فيه تكون قيمة f(x) هي كثافة المادة عند x, وعليه يكون التكامل السطحي لـf على السطح S هو كتلة المادة لكل وحدة سماكة من S,بالطبع شريطة أن يكون السمك متناهي في النحافة. تكمن احدى الطرق في حساب التكامل السطحي بأن يتم تقسيم السطح إلى قطع صغيرة جدا بحيث يمكن فرض كل قطعة صغيرة ثابتة الكثافة ومن ثم تحسب الكتلة لوحدة السماكة في كل قطعة بضرب الكثافة بمساحة القطعة، وأخيرا تجمع القيم للحصول على الكتلة الكلية.
لإيجاد صيغة واضحة للتكامل السطحي ينبغي التفكير في نظام إحداثيات مناسب تماما مثل نظام احداثيات الطول والعرض على الكرة. ليكن نظام الاحداثيات المختار هو x(s, t), حيث (s, t) متغيرة في منطقة ما T في الاحداثيات الكارتيزية. حينئذ يعطى التكامل السطحي بالعلاقة:
حيث ان التعبير بين العمودين على اليمين هو قيمة الضرب المتجهي للمشتقات الجزئية من x(s, t).
ولو رغبنا بحساب المساحة السطحية لجسم ذي دالة مثلا , فلدينا
حيث . وعليه, , و . أي,
وهي الصيغة الشهيرة التي نستخدمها لإيجاد المساحة السطحية لجسم له دالة. لاحظ أن الصيغ السابقة يعمل بها في الاسطح ثلاثية الأبعاد فقط بسبب وجود الضرب المتجهي.
