books various examples of solving exponential equations

• المثال الأول: ما هو حل المعادلة الأسية: 3^{(2 س-1)}=27؟
  • الحل:
  • يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات فيها متساوية، وذلك كما يلي: 3 ^{(2س - 1)} = ³3
  • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أيضاً، وبالتالي: 2س-1 = 3، 2س = 4، س = 2

• المثال الثاني: ما هو حل المعادلة الأسية: 4 ^(2س²+2س) = 8؟
  • الحل:
  • إعادة كتابة المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي:
    • بما أن 2² = 4، فإن 2 ^2(2س²+2س) = 8، وبما أن 2³ = 8 فإن: 2 ^2(2س²+2س) = ³2، وبتوزيع الأس على القوس فإن 2^{(4س² + 4س)}=3.
  • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية، وبالتالي: 4س²+4س= 3، ثم وبترتيب المعادلة التربيعية كما يلي 4س²+4س-3= 0، ثم حلّها بطريقة التحليل إلى عواملها فإن (2س-1)(2س+1) = 0، ينتج أن س لها قيمتان هما: س= 1/2، س= -1/2.

• المثال الثالث: ما هو حل المعادلة الأسية: 2 ^{(4ص + 1)} - 3^ص = 0؟
  • الحل:
  • إعادة ترتيب المعادلة كما يلي: 2^{(4ص + 1)} = 3^ص.
  • إدخال اللوغاريتم الطبيعي لو_هـ على الطرفين، وذلك لأن الأساسات غير متساوية كما يلي:
    • لو_هـ 2 ^{(4ص + 1)} = لو_هـ 3^ص، ووفق خاصية: لو أ^س = س لو أ ، فإن: (4ص+1)لو_هـ 2 = ص لو_هـ 3، 4ص لو_هـ 2 + لو_هـ 2 = ص لو _هـ 3.
  • بإعادة ترتيب هذه المعادلة، وإخراج ص عامل مشترك ينتج أن:
    • ص = - لو _هـ 2 / (4لو _هـ 2 - لو _هـ 3)، وباستخراج قيم لو_هـ 2، لو_هـ 3 من الآلة الحاسبة، ينتج أن: ص= -0.6931/ (4×(0.6931)-(1.0986))، ومنه: ص = -0.4140.

• المثال الرابع: ما هو حل المعادلة الأسية: هـ ^(س+6) = 2؟
  • الحل:
  • بإدخال لو_هـ على الطرفين فإن:
    • لو_هـ هـ ^{(س + 6)} = لو_هـ 2، ولأن لو أ^س = س لو أ، ولو_هـهـ = 1؛ فإن: س+6= لو_هـ(2)، ومنه: س = -5.306.

• المثال الخامس: ما هو حل المعادلة الأسية: 1/2 (10 ^{س -1}) ^س + 3 = 53؟
  • الحل:
  • إعادة توزيع الأس (س) على القوس ينتج ما يلي:
    • 1/2 (10 ^{س² - س}) + 3 = 53
  • ترتيب المعادلة الأسية وجعل الأس على طرف لوحده، وذلك بطرح العدد 3 من الطرفين لينتج أن: 1/2 (10 ^س²-س)=50، وبضرب الطرفين بالعدد 2 ينتج أن: 10^س²-س=100.
  • جعل الأساسات متساوية كما يلي:
    • 10²=10(^س²-س)، وبما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أيضاً، وبالتالي 2 = س²-س.
    • إعادة ترتيب المعادلة التربيعية، وإيجاد عواملها كما يلي: س²- س-2 = 0، (س-2)(س+1) = 0، وبالتالي فإن س لها قيمتان هما: س= 2، أو س= -1.

لمزيد من المعلومات حول كيفية حل المعادلة التربيعية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة التربيعية

• المثال السادس: ما هو حل المعادلة الأسية: 7^س = 20؟
  • الحل: بما أن الأساسات غير متساوية، وبالتالي فإنه يمكن حل هذه المعادلة عن طريق إدخال اللوغاريتم على الطرفين، وذلك كما يلي:
    • 7^س = 20، لو 7 ^س = لو 20، ولأن لو أ^س = س لو أ فإن: س لو 7 = لو 20، ومنه: س = لو20/ لو7
    • استخراج قيمة كل من لو20، ولو7 باستخدام الآلة الحاسبة لينتج أن س= 1.539 تقريباً.

• المثال السابع: ما هو حل المعادلة الأسية (1/25)^{(3س - 4)} - 1 = 124؟
  • الحل:
  • لحل هذه المعادلة يجب ترتيبها أولاً كما يلي:
    • إضافة العدد واحد إلى الطرفين لينتج أن: (1/25)^(3س-4)=125
  • إعادة كتابة المعادلة (1/25)^(3س-4)=125 لتصبح الأساسات متساوية كما يلي:
    • 5^(-2)(3س-4)=5³
    • بتوزيع العدد -2 على القوس فإن: 5 ^(-6س+8)=5³.
  • بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإنه الأسس متساوية كما يلي:
    • -6س+8 = 3، ومنه: -6س=-5، ومنه: س = 5/6.

• المثال الثامن: ما هو حل المعادلة الأسية هـ^2س-7هـ ^س+10=0؟
  • الحل:
  • يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة كما يلي:
    • (هـ ^س)²-7 (هـ ^س)+10=0
    • نفرض أن هـ ^س = م، وبتعويضها في المعادلة فإنها تُصبح معادلة تربيعية: م²-7م+10= 0.
    • بحل هذه المعادلة فإن: (م-5)(م-2) = 0، وهذا يعني أن م=5، أو م= 2.
  • لكن المراد هو إيجاد قيمة س في هـ ^س، ويتم إيجادها كما يلي:
    • هـ ^س = 5، وبإدخال لو هـ على الطرفين فإن: لو_هـ هـ ^س = لو _هـ 5، ومنه:
    • س = لو_هـ 5= 1.6097 تقريباً.
    • هناك قيمة أخرى ل هـ ^س، وهي هـ ^س = 2، ويتم حلها كما يلي:
    • بإدخال لو _هـ على الطرفين فإن لو _هـ هـ ^س = لو_هـ 2، ومنه:
    • س = لو_هـ 2= 0.6932 تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقالات الآتية: حل جملة معادلتين، كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة، طرق حل المعادلات بالمصفوفات.