books optimum consumption and savings
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
الاستهلاك والتوفير الأمثل (Info)
كتطبيق مسألة الأمثل رياضيا التي تستخدم غالبا في تعليم البرمجة الديناميكية متعلقة بمستهلك يعيش علي فترات زمنية t=1,2,3,.....T والمطلوب أن تقرر مقدار الذي يجب أن يستهلكه المستهلك وكم يجب أن يوفره. نفرض أن " Ct" تمثل الاستهلاك عند زمن "t" مع افتراض أن الاستهلاك يؤدي إلى فائدة U(t)=ln Ct طالما المستهلك علي قيد الحياة. مع افتراض أن المستهلك غير صبور فهو يريد أن يعد فوائد المستقبل بمعامل "b" لكل فترة حيث ان 1<b<0 افترض Kt رأسمال عند فترة زمنية t . افترض ان الراسمال الابتدائي <k0مع افتراض أن هذا الرأسمال مع الاستهلاك يمكن أن يحددوا الرأسمال في الفترة الزمنية المقبلة
حيث A هو ثابت موجب و1 <a< 0 نفتر ان الراسمال لايمكن ان يكون سالب . لذا فإن مسألة اتخاذ قرار للمستهلك يمكن ان تكتب:
بهذه الطريقة فإن المسألة تبدو معقدة حيث انه يجب ايجاد الحلول لكل المتغيرات المتاحة C0,C1,C2,………Ct
استخدام نهج البرمجة الديناميكية حيث يتم تفكيك المسألة إلى سلسلة قرارات أصغر. لفعل ذلك نقوم بتعريف قيمة دالة Vt(K) لكل t=0,1,2,….T,T+1 والتي تمثل قيمة ما نمتلك من رأسمال عند كل فترة زمنية t . لاحظ أنه VT+1(K)=0 حيث انه بالافتراض لا يوجد فائده من امتلاك رأس مال بعد الموت. قيمة الرأسمال عند أي فترة زمنية سابقة يمكن أن تحسب عن طريق الحث للوراء باستخدام معادلة Bellman . لهذه المسألة تكون معادلة Bellman كالاتي
هذه المسألة أسهل بكثير من المسائل المكتوبة سابقا لأنها تحتوي فقط على متغيرين للقرار فقط Ct, Kt+1 وبالتالي انه بدل ان يقوم المستهلك بوضع خطة لحياته بأكملها عند الولادة هو يأخذ كل خطوة على حده. لذا عند كل فترة زمنية t يكون الرأسمال معطي ومعروف للمستهلك فكل ما عليه هو ان يحسب استهلاكه Ct ويحسب ما يدخره Kt+1
لحل المسألة بالضبط فإننا نرجع للخلف. كتبسيط مستوى الرأسمال عند هذه النقط يعرف ب K قيمة VT+1(K) معروفة لذا باستخدام معادلة Bellman يمكن حساب VT(K) ونستمر كذلك حتى يتم حساب V0(K) والتي تمثل القيمة للقرار الابتدائي للمسألة على مدار حياته
بالعمل للخلف واضح ان قيمة الدالة لفترة زمنية t=T-j
حيث كل VT-j ثابت لذا الكمية المثلى للاستهلاك عند فترة زمنية t=T-j
ويمكن أن تبسط الي
كما هو واضح فإنه يتم استهلاك كمية أكبر من الصحة كلما يكبر في العمر و يقوم باستهلاك كل الصحة عند وقت T أي عند الوفاة.
