books multiplication properties

خصائص عملية الضرب

لعملية الضرب خصائص عدة، وهذه الخصائص هي:

الخاصيّة التبادليّة

يمكن تعريف الخاصية التبادلية (بالإنجليزيّة: Commutative Property) بأنها تلك الخاصيّة التي تُوضّح أن اختلاف ترتيب الأرقام أو العوامل أثناء إجراء عمليّة الضرب لا يؤثر على النتيجة النهائية، ويتم التعبير عن ذلك بالرمور: (أ×ب)=(ب×أ)؛ فعلى سبيل المثال إذا كان ناتج ضرب العدد 8 بالعدد 2 يساوي 16، فإنّ ناتج ضرب العدد 2 بالعدد 8 يساوي 16 أيضاً؛ أي أن 8×2=2×8؛ ويجدر بالذكر هنا أن هذه الخاصية لا تنطبق على عملية القسمة، ويمكن من خلالها تبسيط عملية ضرب الأعداد التي تزيد عن اثنين لتسهيل حلها؛ مثل إيجاد حاصل ضرب 2×3×5×3×2×3×5؛ حيث يمكن إعادة ترتيب هذه المسألة باستخدامها لتصبح: (2×5)×(5×2)×(3×3)×3=10×10×27=2700، وحلها بسهولة.

خاصيّة التجميع

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح إمكانيّة تغيير طريقة تجميع الحدود أو الأرقام دون التأثير على ناتج الضرب اسم خاصيّة التجميع (بالإنجليزيّة: Associative property)؛ فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب: 3×(5×4)= 60، ويساوي ناتج 4×(3×5)= 60؛ ويمكن التعبير عنها بالرموز: أ×(ب×ج)= (أ×ب)×ج، وهي تعني باختصار أن موقع الأقواس في المسألة الرياضية لا يؤثر على نتيجتها النهائية.

خاصيّة التّوزيع

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح إمكانيّة ضرب العدد أو الحد الموجود خارج الأقواس بكل الأعداد أو الحدود الموجودة داخله اسم خاصيّة التجميع (بالإنجليزيّة: Distributive Property)ويمكن التعبير عنها بالرموز على شكل: أ×(س+ص)= أ×س+أ×ص، كما أنّ أ×(س-ص)= أ×س - أ×ص، وتساعد هذه الخاصية على تبسيط المسائل المعقدة إلى مسألة بسيطة مكونة من طرح أو جمع بين عددين أو حدين.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول خاصية التوزيع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون التوزيع في الضرب.

خاصيّة الهويّة

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح أنّه في حالة ضرب العدد 1 بأي عدد آخر فسيكون الناتج هو العدد الآخر اسم خاصيّة الهويّة، أو خاصيّة الواحد (بالإنجليزيّة: Identity property)، فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب العدد 1 بالعدد 5 هو 5، وناتج ضرب العدد 20 بالعدد 1 هو 20.

خاصيّة الصفر

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح أنّ ناتج ضرب أي عدد بالصفر هو صفر اسم خاصيّة الصفر (بالإنجليزيّة: Zero Property)، فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب العدد 5 بالعدد 0 هو 0، كما أنّ ناتج ضرب العدد 0 بالعدد 100 هو صفر دائماً، وتبرز أهمية هذه الخاصية في حل المعادلات؛ فمثلاً عند حل هذه المعادلة: (س-4)(س+4)=0؛ فإن خاصية الصفر تفرض أن أحد القوسين أو كليهما يجب أن يكون مساوياً للعدد صفر، ومنه يكون حلها س=4+،4-.

أمثلة متنوعة على خصائص عملية الضرب

• المثال الأول: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 4×3=3×4.
  • الحل: الخاصية التبادلية.

• المثال الثاني: عبر عن التعبير الآتي بأسلوب مختلف باستخدام الخاصية التبادلية: 6×س².
  • الحل: س²×6=6×س²

• المثال الثالث: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 3×(7×4)=(3×7)×4.
  • الحل: خاصية التجميع.

• المثال الرابع: أي من تلك العبارات تعبّر بشكل صحيح عن الخاصية التبادلية: 3×6×4=3×6×4، 3×6×4=6×4×3، 2×3×6=9×4.
  • الحل: 3×6×4=6×4×3.

• المثال الخامس: جد ناتج العبارة العملية الحسابية الآتية دون استخدام الآلة الحاسبة: 7/13×11/8×4/17×8/11×6/19×13/7×19/6×17/4.
  • الحل: ترتيب الأرقام بالاستعانة بالخاصية التبادلية لتسهيل عملية حسابها، لتصبح كما يأتي: (4/17×17/4)×(11/8×8/11)×(6/19×19/6)×(7/13×13/7)=(1)×(1)×(1)×(1)=1

• المثال السادس: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 8×1=8.
  • الحل: خاصية الهوية، أو خاصية الواحد.

• المثال السابع: أي من الآتي يعبّر عن خاصية التجميع: 4س(6س²×8)=6س²(8×4س)، أ×1=أ، 8س×7س²=7س²×8س، 8(س+3)=8س+24.
  • الحل: 4س(6س²×8)=6س²(8×4س).

• المثال السابع: أي من الآتي يعبّر عن خاصية التجميع: أ×1=أ، أ×0=0، ب×أ=أ×ب، ج(أ×ب)=ب(أ×ج).
  • الحل: ج(أ×ب)=ب(أ×ج).

• المثال الثامن: إذا كان 7×(4×2)=56، فما هو ناتج (7×4)×2=؟
  • الحل: 56، فوفق خاصية التجميع إن 7×(4×2)=(7×4)×2.

• المثال التاسع: الرقم المفقود هنا هو: 5 × (_× 9) = (5 × 8) × 9.
  • الحل: 8، وفق خاصية التجميع.

• المثال العاشر: بسط ما يأتي باستخدام خاصية التوزيع: 4*( 2س+8).
  • الحل: 4×( 2س+8)=4×(2س) + 4×8، ويساوي 8س + 32.

• المثال الحادي عشر: بسّط التعبير الآتي باستخدم خاصية الضرب المناسبة: 2×(3س+5)-(س+2).
  • الحل: باستخدم خاصية التوزيع يمكن كتابة التعبير السابق على الشكل الآتي: 2×(3س+5)--1×(س+2)=6س+10-س-2=5س+8.

• المثال الثاني عشر: أعد كتابة التعبير الآتي باستخدام خاصية التوزيع: 20×(9-2).
  • الحل: 20×9-20×2=180-40=140.

• المثال الثالث عشر: جد حاصل ضرب ما يأتي باستخدام خاصية الضرب المناسبة: (س+ص)(س+2ص).
  • الحل: (س+ص)(س+2ص)=س²+2س ص+س ص+2ص²=س²+3س ص+2ص².

• المثال الرابع عشر: اكتب التعبير الآتي باستخدام قانون التوزيع: (4س-3)(س+8)-2.
  • الحل: (4س-3)(س+8)-2=4س²+32س-3س-24-2=4س²+29س-26.

• المثال الخامس عشر: اكتب التعبير الآتي باستخدام قانون التوزيع: (س√-3√)(س√+3√).
  • الحل: (س√-3√)(س√+3√)=س+3س-3س+3=س-3.