books how to calculate the height of a triangle

هناك العديد من الطرق لحساب ارتفاع مثلث ما، ومنها:

باستخدام قانون مساحة المثلث

يتم حساب ارتفاع المثلث إذا عُلمت مساحته وطول قاعدته بواسطة قانون مساحة المثلث، وذلك لجميع أنواع المثلثات، وذلك كما يلي:

• قانون مساحة المثلث = 1/2× القاعدة × الارتفاع، ويمكن إعادة ترتيبه لحساب ارتفاع المثلث كالآتي: الارتفاع = (2×المساحة)/القاعدة، وبالرموز: ع = (2×م)/ق؛ حيث:
  • ع: ارتفاع المثلث.
  • م: مساحة المثلث.
  • ق: طول قاعدة المثلث.

• فمثلاً إذا كان هناك مثلث مساحته 20 سم² وطول قاعدته 4 سم، فإن ارتفاعه هو:
  • بتعويض القيم المعطاة في قانون المساحة ينتج أن: الارتفاع = (2×المساحة)/القاعدة = (2×20)/4 =10 سم.

لمزيد من المعلومات حول مساحة المثلث يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف أحسب مساحة المثلث.

باستخدام نظرية فيثاغورس

المثلث قائم الزاوية

يمكن حساب ارتفاع المثلث قائم الزاوية باستخدام نظرية فيثاغورس إذا عُلم طول قاعدته ووتره وفقا للصيغة الآتية:

• الوتر² = القاعدة² + الارتفاع²، وبترتيب المعادلة تصبح: الارتفاع = (الوتر² - القاعدة²)√.

• فمثلاً إذا كان هناك مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 6 سم، وطول الوتر فيه 7 سم، فإن ارتفاعه هو:
  • بتعويض القيم المعطاة في نظرية فيثاغورس ينتج أن: الارتفاع = (الوتر² - القاعدة²)√ = (7² - 6²)√ = (49 - 36)√ = 13√، ويساوي تقريبا 3.6 سم.

لمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس.

المثلث متساوي الساقين

يُمكن استخدام نظرية فيثاغورس في معرفة ارتفاع المثلث متساوي الساقين إذا عُلم طول قاعدته وطول أحد ضلعيه المتساويين، وذلك باتباع الخطوات الآتية:

• تقسيم المثلث متساوي الساقين عن طريق إسقاط عمود من الرأس على القاعدة، فيتكون مثلثان قائما الزاوية ومتطابقان، ويشكل العمود الساقط الضلع الأول أو الارتفاع للمثلث قائم الزاوية وللمثلث متساوي الساقين.
• اعتبار طول أحد الضلعين المتساويين هو طول الوتر.
• اعتبار طول نصف قاعدة المثلث متساوي الساقين هو الضلع الثاني أو قاعدة المثلث قائم الزاوية.
• تطبيق قانون نظرية فيثاغورس: الوتر² = القاعدة² + الارتفاع²، وبترتيب المعادلة تصبح: الارتفاع = (الوتر² - القاعدة²)√.

• فمثلاً إذا كان هناك مثلث متساوي الساقين طول أحد ضلعيه المتساويين 5 سم، وطول قاعدته 6 سم، فما ارتفاعه؟
  • بتطبيق الخطوات السابقة:
  • تقسيم المثلث متساوي الساقين بإسقاط عمود من الرأس إلى القاعدة، فيتكون مثلثان قائما الزاوية ومتطابقان.
  • تطبيق نظرية فيثاغورس على أحد المثلثين قائمي الزاوية واعتبار أن طول الوتر = 5 سم، وطول قاعدة مثلث قائم الزاوية = 3 سم.
  • تطبيق قانون نظرية فيثاغورس: الارتفاع = (الوتر² - القاعدة²)√ = (5² - 3²)√ = 4 سم.

لمزيد من المعلومات حول ارتفاع المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقال الآتي: ارتفاع مثلث متساوي الساقين.

باستخدام الاقترانات المثلثية

يمكن استخدام الاقترانات المثلثية لحساب ارتفاع المثلث القائم أب ج، أو المثلث متساوي الساقين بعد إسقاط عمود من رأسه نحو قاعدته، وذلك عند معرفة قياس إحدى زواياه، وأحد أضلاعه، وذلك كما يلي:

• جيب الزاوية= الضلع المقابل للزاوية/الوتر.
• جيب تمام الزاوية= الضلع المجاور للزاوية/الوتر.

• فمثلاً إذا كان هناك مثلث متساوي الساقين طول ساقيه 10 سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 120°، فإن ارتفاعه هو:
  • بتطبيق الخطوات الآتية:
    • إسقاط عمود من رأس المثلث بحيث ينصّف زاوية الرأس إلى منتصف قاعدته، ليتكون مثلثان قائما الزاوية ومتطابقان، ليتمثّل الوتر بإحدى ساقي المثلث متساوي الساقين، أما زاوية الرأس فقياسها 120/2= 60°.
    • باستخدام قانون جتا س = الضلع المُجاور للزاوية س/ الوتر، وباعتبار أن الارتفاع هو الضلع المجاور للزاوية ينتج أن:
    • جتا س = الارتفاع / الوتر، ومنه: جتا 60° = الارتفاع / 10، وبضرب طرفي المعادلة بالعدد 10 ينتج أن: الارتفاع = جتا 60°×10= 5 سم.

حساب ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع

المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى فيه جميع أضلاعه وجميع زواياه وتساوي 60 درجة، وتتساوي فيه أيضاً قيمة ارتفاعاته الثلاث، التي يمكن حسابها مباشرة من خلال العلاقة الرياضية الآتية:

• الارتفاع = (طول الضلع×3√) / 2

• فمثلاً إذا كان هناك مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 12 سم فإن ارتفاعه هو:
  • بتعويض القيم المعطاة في العلاقة السابقة ينتج أن:
    • الارتفاع = (طول الضلع×3√) / 2 = (12×3√) / 2= 3√6 = 10.39 سم تقريباً

يمكن أيضاً حساب ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع باستخدام نظرية فيثاغورس وذلك بتطبيق نفس الخطوات السابقة المتّبعة في حساب ارتفاع المثلث متساوي الساقين.

لمزيد من المعلومات حول المثلث متساوي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع.