books examples of calculating the area of a triangle

• المثال الأول: إذا كانت قاعدة المثلث القائم 4 سم، وارتفاعه 3 سم، فما مساحته؟
  • الحل: من خلال القانون: مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع ينتج أن: مساحة المثلث= (1/2)×4×3 = 6سم².

• المثال الثاني: إذا كانت قاعدة المثلث 4 سم، والوتر 5 سم، فما مساحته؟
  • الحل:
  • استخدام قانون فيثاغورس لإيجاد الارتفاع، وذلك كما يلي: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)²، وبالتالي فإن:
    • ارتفاع المثلث² = الوتر² - القاعدة²= 25-16= 9، وبأخذ الجذر التربيعي فإن الارتفاع= 3سم.
  • تطبيق قانون مساحة المثلث القائم بعد إيجاد الارتفاع: مساحة المثلث القائم= (1/2)×4×3 = (1/2)*12=6 سم².

• المثال الثالث: إذا كان طول ضلعي القائمة في مثلث قائم 10، و0.1، فما مساحته؟
  • الحل: يمثل ضلعي القائمة ارتفاع المثلث وطول قاعدته، وبالتالي فإن مساحة المثلث تساوي: 1/2×0.1×10= 1/2سم².

• المثال الرابع: إذا كانت ارتفاع المثلث 12 سم، والوتر 24 سم، فما مساحته؟
  • الحل:
  • استخدام قانون فيثاغورس لإيجاد طول القاعدة، وذلك كما يلي: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)²، وبالتالي فإن:
    • 24²= 12²+طول القاعدة²، ومنه: طول القاعدة² = 432، وبأخذ الجذر التربيعي فإن طول القاعدة= 20.8سم.
  • تطبيق قاعدة مساحة المثلث القائم: مساحة المثلث القائم= (1/2)×20.8×12 = 125سم².

• المثال الخامس: إذا كان محيط مثلث قائم الزاوية 12سم، وطول وتره 5سم، جد مساحته.
  • الحل:
  • من خلال معرفة أن محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه فإن: 12= طول الوتر+طول الساق الأولى (س) + طول الساق الثانية (ص)، ومنه: 12=5+س+ص، ومنه: س+ص=7.
  • من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس ينتج أن: الوتر²= الضلع الأول²+الضلع الثاني²، ومنه: 5²=س²+ص².
  • بتعويض قيمة ص=7-س في المعادلة 25 = س²+(7-س)²، ينتج أن: 25= س²+س²-14س+49، وبترتيب المعادلة ينتج: س²-7س+12=0، ومنه: س=4، أو س=3.
  • حساب قيمة ص عن طريق: ص=7-3=4، أو ص=7-4=3، وعليه فإن طول ساقي المثلث هو: 3،4 سم.
  • تطبيق قانون مساحة المثلث القائم: مساحة المثلث القائم= (1/2)×4×3 = 6سم².

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب محيط المثلث القائم.

• المثال السادس: إذا كان قياس زوايا مثلث قائم الزاوية هي: 30، 60، 90 درجة، وكان طول وتره هو 8سم، جد مساحته.
  • الحل:
  • بافتراض أن الزاوية المحصورة بين القاعدة والوتر هي 30 درجة يمكن حساب طول القاعدة عن طريق جيب تمام الزاوية، وذلك كما يلي:
    • جتا(30) = طول القاعدة/الوتر، ومنه: طول القاعدة = 0.866×8 = 6.9سم.
  • بافتراض أن الزاوية المحصورة بين القاعدة والوتر هي 30 درجة يمكن حساب الارتفاع عن طريق جيب الزاوية، وذلك كما يلي:
    • جا(30) = الارتفاع/الوتر، ومنه: الارتفاع= 0.5×8 = 4سم.
  • تطبيق قانون مساحة المثلث القائم: مساحة المثلث القائم= (1/2)×6.9×4 = 13.9سم².

• المثال السابع: إذا كانت قاعدة المثلث القائم 11 سم، وارتفاعه 13 سم، فما مساحته؟
  • الحل: من خلال القانون: مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع ينتج أن: مساحة المثلث= (1/2)×11×13 = 71.5سم².

• المثال الثامن: إذا كانت قاعدة المثلث القائم 3سم، ومساحته 18 سم²، فما هو ارتفاعه؟
  • الحل: من خلال القانون: مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع ينتج أن: 18= (1/2)×3×الارتفاع، وبحل المعادلة ينتج أن: الارتفاع= 12سم.

• المثال التاسع: إذا كان طول وتر المثلث القائم ومتساوي الساقين 50سم، جد مساحته؟
  • الحل:
  • من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس ينتج أن: الوتر²= الضلع الأول²+الضلع الثاني²، وبما أن الضلع الأاول=الضلع الثاني فإن: الوتر²= 2×طول الساق²، ومنه 50² = 2×طول الساق² ، وبقسمة الطرفين على (2) ، وأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: طول ساق المثلث= 35.35سم.
  • تعويض القيم في القانون: مساحة المثلث = (1/2)×طول الساق² = 1/2×35.35² = 625سم².

• المثال العاشر: إذا كان طول أضلاع مثلث قائم الزاوية: 3، 4، 5سم، جد مساحته باستخدام صيغة هيرون.
  • الحل:
  • حساب قيمة س، وهي: س=(أ+ب+ج)/2 = (3+4+5)/2 = 6.
  • تعويض القيم في القانون: مساحة المثلث = [س×(س-أ)×(س-ب)×(س-ج)]√ = [6×(6-3)×(6-

)×(6-5)]√ = [6×(3)×(2)×(1)]√ = 6سم².

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث رياضيات عن المثلثات، انواع المثلثات.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف أحسب مساحة المثلث.