books objective interconnected lagrange structures
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
موضوعية هياكل لاغرانج المترابطة (Info)
دعنا نفترض أن فضاء الطور الخاص بالنظام الديناميكي يمثل فضاء بارامترات المادة الخاص بوسط متصل (مثل السوائل والأجسام اللدنة). على سبيل المثال دعنا نفترض نظامًا ديناميكيًا مُولدًا بواسطة مجال سرعات متقلب مُعطى بالعلاقة الآتية:
حيث هي مجموعة مفتوحة تحتوي على جميع مواقع الجسيمات الممكنة، وهي تمثل فضاء بارامترات المادة. وفي نطاق هذا الفضاء فإن هياكل لاغرانج المترابطة تمثل أسطح المادة التي تشكلها المسارات. لا يعتمد وجود مسار المادة داخل هيكل لاغرانج على الإحداثيات المُختارة، وبالتالي فهي خاصية لا تعتمد على مكان المراقب. ونتيجة لذلك فإن هياكل لاغرانج تخضع لمبدأ الموضوعية (أي عدم اعتماد خواص المادة على الإطار المرجعي) المعروف في ميكانيكا الأوساط المتصلة. وبموجب مبدأ الموضوعية يجب على هياكل لاغرانج أن تكون ثابتة بغض النظر عن تغير المراقب، أي جميع التغيرات الخطية للإحداثيات التي تتخذ الصورة الآتية:
حيث هو متجه الكميات المتحولة، و هي مصفوفة عشوائية ومتعامدة تمثل عمليات الدوران المعتمدة على الزمن، و هو متجه عشوائي ثلاثي الأبعاد يمثل الانتقالات المعتمدة على الزمن. ونتيجة لذلك ينبغي أن نُعبر عن أي تعريف متسق لهياكل لاغرانج بدلالة الكميات التي لا تعتمد على الإطار المرجعي. على سبيل المثال: موتر معدل الإجهادات ، وموتر الدوران المُعطيان بالعلاقات الآتية:
وهي تتحول بواسطة تغيرات الإطارات الإقليدية إلى الكميات الآتية:
ذلك يعني أن تغير الإطار المرجعي مكافئ لعملية تحويل التشابه على الموتر ، وبالتالي فإن هياكل لاغرانج المترابطة التي تعتمد حصرًا على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للموتر لا تعتمد بضرورة الحال على الإطار المرجعي. أما بالنسبة لهياكل لاغرانج التي تعتمد على القيم الذاتية للموتر فهي ليست مستقلة عن الإطار المرجعي بصفة عامة.
تُستخدم الكميات التي لا تعتمد على الإطار المرجعي مثل و بشكل روتيني في رصد هياكل لاغرانج المترابطة. رغم أن تلك الكميات من شأنها أن تبرز خصائص متجه السرعات اللحظي لكن قدرتها على اكتشاف خواص اختلاط المواد، والانتقال، والترابط محدودة.
