لغرض تعريف مشتقات الدوال البسيط، لن يكون هناك الكثير من التغيرات في فضاء المصفوفات; ويكون فضاء المصفوفات ذو البعد n×m مساوية لشكل فضاء المتجهات Rnm. لدى الثلاث المشتقات المعروفة في حسبان المتجهات نسخ مشابهة لها هنا، على الرغم من التحذير الموجود في قسم المطابقات الموجود أدناه حول عملية المضاعفة.
- يكون متجه المماس للانحناء F : R → M(n,m) هو:
- و يكون الممال gradient للدالة القياسية f : M(n,m) → R لاحظ بأن فهرسة الممال بالنسبة إلى X هي مصفوفة منقولة بالمقارنة مع فهرسة X. كما تُعطى المشتقة الإتجاهية للدالة f في إتجاه المصفوفة Y بواسطة:
- يكون تفاضل أو المشتقة المصفوفية للدالة F : M(n,m) → M(p,q) هو العنصر M(p,q) ⊗ M(m,n), وهو تنسور ذو الرتبة الرابعة (يشير انعكاس m وn هنا إلى الفضاء الثنائي للعنصر M(n,m)). وباختصار تكون المشتقة المصفوفية لتلك الدالة هي مصفوفة m×n كل عنصراً فيها هو مصفوفة p×q. و لاحظ بأن كل ∂F/∂Xi,j هو عبارة عن مصفوفة p×q كما ذًكر في الأعلى. لاحظ أيضاً بأن لدى هذه المصفوفة مصفوفة منقولة ومفهرسة; ولديها m صف وn عمود. إذاً, يكون الدفع الأمامي على طول الدالة F للمصفوفة n×m حيث يكون Y في M(n,m) هو: مثل مصفوفات السد block Matrix. لاحظ بأن هذا التعريف يشمل كل التعاريف السابقة حتى الحالات الخاصة.
Source: wikipedia.org