books hyperbolic functions
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
دوال زائدية (Info)
الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية (بالإنجليزية: Hyperbolic functions) في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t , sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t , sinh t) النصف الأيمن من القطع الزائد.
تظهر الدوال الزائدية في حلول العديد من المعادلات التفاضلية الخطية (على سبيل المثال، المعادلة التي تحدد سلسلي)، وبعض المعادلات التكعيبية، في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية، ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية. تعتبر معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية، ونقل الحرارة، وجريان الموائع، والنسبية الخاصة.
تشكل الدوال الآتية الأساس في الدوال الزائدية:
في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.
تعابير متسلسلات تايلور
من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:
- (متسلسلة لوران)
- (متسلسلة لوران)
حيث
- هي عدد بيرنولي رقم n
- هي عدد أويلر رقم n
المقارنة مع الدوال المثلثية
تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.
بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r2u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية.
يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا √2 مرة الدوال الدائرية والزائدية.
الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى الدوران الزائدي ، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران الدائري.
تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي ) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة.
الرسم البياني للدالة cosh (x/a) هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.
علاقاتها بالدوال الأسية
تحليل الدالة الأسية في أجزائها الزوجية والفردية يعطي المتطابقات التالية:
تشبه الأولى صيغة أويلر.
بالإضافة إلى
الدوال الزائدية للأعداد المركبة
لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل.
وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
وعليه:
وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة ( بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين).
إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.
تطبيقات الدوال الزائدية
لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.
تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.
![القطعي والظني بين أهل الرأي وأهل الحديث [الطبعة الثانية مزيدة ومنقحة]](/publice/covers_cache_jpg/2/8/6/5/6268589614865c8393d31be73601b5c9.jpg.jpg "القطعي والظني بين أهل الرأي وأهل الحديث [الطبعة الثانية مزيدة ومنقحة]")
