books derivation of the second law
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
اشتقاق القانون الثاني (Info)
لنفرض أنّ التركيز يتغيّر فقط باتجاه محور x. إذا ما طبّقنا قانون حفظ المادة على حجم موحل في الصغر ذو مساحة وسمك لامتناهٍ في الصغر ، كما في الرسم، نحصل على المعادلة الآتية:
أو:
الجهة اليسرى من المعادلة تعطينا الكمية الكلية للمادة في الحجم الذي نتمعّن به حاليًا. أمّا الجهة اليمنى، فهي عبارة عن الفرق بين كميّة المادّة التي تتدفّق بين جهتي الحجم (السطح الأخضر في الرسم والسطح المقابل له). حسب قانون حفظ المادّة، وإذا فرضنا أنّه بداخل الحجم أعلاه لا تتكوّن أو تختفي أي جزيئات من المادة (أي لا يوجد مصدر أو مصرف للمادة في الحجم)، فإنّ الفرق بين الكميات المتدفقة من الجهتين يساوي الكمّيّة الموجودة في داخل الحجم بكل لحظة.
من الواضح أنّه باختزال A، وبتعديلات جبرية طفيفة، بالإمكان إحالة المعادلة إلى الصورة التالية:
لكن العلاقة بين تدفق الانتشار وبين تركيز المادة معروفة من قانون فيك الأوّل:
بالخطوة الأخيرة فرضنا أن معامل الانتشار، D، لا يتغير مع x، ولذلك بالإمكان إخراجه من المشتقة الجزئية والحصول على قانون فيك الثاني.
