books derivation by functional analysis
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
الاشتقاق بالتحليل الدالي (Info)
يمكن فهم صيغة أويلر ماكلورين بأنها تطبيق مثير للفضول عن بعض أفكار فضاء هيلبرت والتحليل الدالي.
في البداية يتم حصر المسألة في مجال فترة الوحدة [0,1]. لتكن هي كثيرات حدود بيرنولي. تعطى زمرة دول ثنائية لكثيرات حدود بيرنولي بالعلاقة:
حيث δ هي دالة دايراك دلتا. العلاقة السابقة هي رمز لفكرة أخذ المشتقات عند نقطة; بالتالي يكون لدينا
من أجل n > 0 ودالة اعتباطية ولكنها تفاضلية ƒ(x) على دالة الوحدة. في الحالة n = 0, يمكن تعريف . كثيرات حدود بيرنولي، على امتداد ثنائياتها، من مجموعة حالات متعامدة على فترة الوحدة: لدينا
و
حينئذ تتبع صيغة مجموع أويلر ماكلورين كتكامل على الآخر. لدينا
وبوضع x = 0 وترتيب الحدود، يمكن الحصول على تعبير لـ ƒ(0). لاحظ أن أعداد بيرنولي تعرف بأنها Bn = Bn(0), وأنها تتلاشى للقيم الفردية n أكبر من 1.
وبالتالي، باستخدام دالة بيرولي الدورية Pn المعرفة أعلاه وبإعادة النقاش حول الفترة [1,2], يمكننا الحصول على تعبير ƒ(1). وعلى هذا المنوال يمكن الحصول على تعبير لـ ƒ(n), n = 0, 1, 2, ..., N, وبإضافتها فوق بعض نحصل على صيغة أويلر ماكلورين. لاحظ أن هذا الاشتقاق لايفترض أن ƒ(x) قابلة للتفاضل بشكل كاف وذات سلوك صحيح ; خاصة أن ƒ يمكن تقريبها بكثيرات حدود; وبشكل مكافئ بأن ƒ دالة تحليلية حقيقية.
يمكن إذن النظر إلى صيغة مجموع أويلر-ماكلورين على أنها حصيلة تمثيل دوال على فترة الوحدة بالضرب المباشر لكثيرات حدود بيرنولي وثنائياتها. ومع ذلك لاحظ أن التمثيل ليس مكتملا على مجموعة دوال مربعة قابلة للتكامل. النشر بدلالة كثيرات حدود بيرنولي ليس له نواة عادية. بشكل خاص، sin(2πnx) تقع على النواة; تكامل sin(2πnx) يتلاشى على فترة الوحدة، كما هو الفرق بين مشتقاته على النقاط الطرفية.
