books understanding aid

لماذا لا يكون الاحتمال هو 1/2

إن أكثر الاعتراضات الصوتية شيوعاً لهذا الحل هي تلك الاعتراضات التي تقول بأنه علينا تجاهل الماضي عندما نقوم بتقييم الاحتمالات—حيث أنه لا يوجد هناك أي علاقة بين الباب الذي أختاره اللاعب مبدئياً أو الباب الذي سيفتحه المضيف بقيم الاحتمالات. على أية حال، في المسألة الأصلية، الاختيار المبدئي لللاعب سيقوم بتأثير كبير على قيم الاحتمالات التي يقدمها المضيف للاعب.

هذه الاختلافات ظهرت بسبب وجود التناقض الحاصل بين المسألة الأصلية والنسخ الأخرى لها الموجودة في عمود فوس سافانت في نوفمبر 2006. في أحد النسخ التي قدمتها فوس سافانت، ينسى مونتي هول أي باب يكون وراءه السيارة. فيقوم بفتح إحدى الأبواب عشوائياً وسيسعد عندما ينكشف الماعز. ورداً على السؤال ما إذا كان ينبغي على المتسابق بأن يغير اختياره المبدئي، ردت فوس سافانت بشكل صحيح، قائلةً بأنه "إذا كان المضيف جاهلاً عما وراء الأبواب، فلن يكون هناك أي اختلاف سواءً أبقى على اختياره أو قام بالتغيير. أما إذا كان يعلم، فلن يكون هناك أي اختلاف عند التغيير (vos Savant, 2006).

في هذه النسخة من اللغز، يكون لدى اللاعب فرص متساوية للفوز سواءً أقام بالتغيير أو لا. فلنفترض بأن اللاعب اختار الباب ذو الرقم 1، فسيكون هناك ستة نتائج محتملة يمكن لها أن تحدث، كل واحدة منها لها احتمال مقداره 1/6:

كما هو موضح في الجدول الموجود أعلاه، هناك حالتين فقط يكشف فيها المضيف عن السيارة، وما يحدث في هاتين الحالتين لا زال مجهولاً —ربما يفوز المتسابق مباشرةً أو قد يخسر. على أية حال، المسألة الأصلية تقول بأنه يجب على المضيف أن يكشف الماعز، لذلك سيكون هناك أربعة حالات فقط محتملة من أصل ستة حالات، وهذه الاحتمالات تكون متساوية في المقدار. في حالتين من تلك الأربعة حالات، يؤدي التغيير إلى الفوز، وفي الحالتين الأخرتين، يؤدي التغيير إلى الخسارة. وعند البقاء على الاختيار المبدئي فأنها تعطي نفس قيم الاحتمالات: فالخسارة تحدث في حالتين والفوز تحدث في حالتين.

إن احتمالات اللاعب بالفوز تزداد إلى 2/3 في المسألة الأصلية لأن في الحالتين الموجودتين أعلاه حيث يكشف فيها المضيف عن السيارة لا تكون موجودة، لأنه مضطر إلى الكشف عن الماعز المتبقي بدلاً من أن يكشف عن السيارة. في الجدول أدناه، تم تسليط الضوء على تلك الحالتين:

هذا التغير في سلوك المضيف قد سبب في تضاعف احتمالية الفوز بالسيارة، فنسبة الاحتمال تتضاعف عندما تكون السيارة خلف "الباب الثالث" أو "الباب الثاني"، وسبب تضاعف احتمالية الفوز بالتغيير هو "معرفة المضيف" لمتغيرات المسألة.

زيادة عدد الأبواب

قد يكون من الأسهل تقييم الحل بأخذ نفس المسألة لكن نجعل من عدد الأبواب مليوناً بدلاً من ثلاثة أبواب فقط (vos Savant 1990). ففي هذه الحالة سيكون هناك 999,999 باب وراءها مواعز وباب واحد سيكون خلفه الجائزة. اللاعب سيختار إحدى الأبواب. بعد ذلك سيفتح مضيف اللعبة 999,998 من الأبواب المتبقية كاشفاً 999,998 ماعز—تخيل المضيف يبدأ بفتح الباب الأول إلى الباب الأخير ذو الرقم 1,000,000، ويفتح كل واحد منها، متخطياً الباب الذي اختاره اللاعب والباب الآخر الذي يوجد وراءه الماعز. ثم يعرض المضيف على اللاعب الفرصة بالتغيير إلى الباب الغير مفتوح. على حسب الاحتمالات، سيكون هناك احتمال مقداره 999,999 من أصل 1,000,000 مرة يكون الجائزة وراء الباب المتبقي الغير مفتوح، كما أن هناك احتمال مقداره 999,999 من أصل 1,000,000 مرة يفوز فيه اللاعب بالماعز عند البقاء على اختياره المبدئي. اللاعب العقلاني سيقوم بالتغيير. بالحديث بديهياً، على اللاعب أن يسأل نفسه ما مدى حظه، من بين مليون باب، يختار فيها الباب الصحيح.

أقترح ستايبل وآخرون (2008) بأن مطلب الذاكرة العاملة تقوم بإجبار الناس عند اختبارهم في مسألة مونتي هول "بتهديم" اختياراتهم إلى اختيارين فقط لهما الاحتمالان متساويان. كما أنهم أقترحوا بأنه إذا تم زيادة عدد الاختيارات إلى ما فوق 7 اختيارات (7 أبواب) يميل الناس إلى التغيير أكثر من قبل، على أية حال لا يزال هناك البعض يبقون في اعتقادهم بأن هذا الجواب غير صحيح وإن احتمال الفوز ستتقسم إلى 50/50.

دمج الأبواب

بدلاً من القيام باختيار إحدى الأبواب ليتبين لك لاحقاً بأنها تؤدي إلى الخسارة، فأنه من الممكن القيام بحركة مكافئة لها وهي دمج البابين الغير مختارين إلى باب واحد فقط. وبما أن اللاعب لا يستطيع، ولن يستطيع، اختيار الباب المفتوح، فستنتقل قيمة احتمال الباب المفتوح وتنجمع مع الباب المغلق التي تم دمجها معها (Adams 1990; Devlin 2003; Williams 2004; Stibel et al., 2008). وبالتالي سيكون لدى اللاعب الخيار إما أن يبقى على اختياره المبدئي للباب مع 1/3 احتمال للفوز بالسيارة، أو أنه يختيار البابين الآخرين المندمجتان اللتان لديهما 2/3 احتمال كما هو موجود في الصورة التوضيحية.

إن افتراضات اللعبة تلعب دوراً مهماً هنا—فالفوز بالتغيير يكافئ أخذ البايين المندمجين إذا وفقط إذا كان مضيف اللعبة يعرف ما وراء الأبواب، وأنه يضطر لفتح الباب الذي وراءه الماعز فقط، وأنه يختار بين البابين المتبقيين اللذان وراءهما ماعز بشكل عشوائي مع احتمالات متساوية.

الاختلاف الوحيد بين تبديل الباب الواحد ببابين مندمجين وبين تبديل باباً واحداً بباباً واحداً أخر هو أن المضيف سيفتح أحد البابين المندمجين حيث أن نسبة الاحتمال للباب المفتوح سينتقل للآخر، بينما إذا قام اللاعب بوضع كل باب على حدة فلن يكون هناك أي أفضلية له. فبفتح إحدى الأبواب سيعرض لنا جميع الأبواب التي يجب أن تكون خلفها السيارة، فتكون السيارة خلف إحداهما. على الأقل يجب أن يكون وراء إحدى البابين الغير مختارين الماعز، سيكون لدى المضيف احتمالات متساوية لفتح إحداهما إذا كان وراء كلا البابين الماعز، ففتح إحدى هذين البابين لن يعطي معلومات إضافية؛ وبمعنى آخر ففتح إحدى هذه الأبواب لن يغير احتمالية 2/3 في أن السيارة خلف إحدى تلك الأبواب (Devlin 2003).

المحاكاة

هناك طريقة بسيطة لتوضيح أن إستراتيجية التغيير تؤدي إلى احتمال الفوز في المتوسط مرتين من أصل ثلاث مرات وذلك بمحاكاة اللعبة عن طريق أوراق اللعب (Gardner 1959b; vos Savant 1996:8). فلتُستعمل ثلاث أوراق من مجموعة عادية ونعتبرها ثلاثة أبواب؛ سنجعل من أحدها ورقة "مميزة" مثل ورقة البستوني (بالإنجليزية: Ace of Spades)‏ ونعتبرها الباب الذي خلفه السيارة، ونجعل من الورقتين المتبقيتين ورقتان عاديتان، على سبيل المثال ورقتين حمراوتين، ولنعتبرها الأبواب التي خلفها الماعز.

هذه المحاكاة، وباستعمال الإجراء التالي، يمكن أن تُعاد عدة مرات لمحاكاة دورات عديدة من اللعبة. فبالنسبة "للاعب" عليه أن يقوم باختيار إحدى البطاقات عشوائياً، لكي يعتبرها الباب الذي سيختاره اللاعب مبدئياً. بعد ذلك، يبقى بطاقتين مقلوبتين، يراهما المضيف ويجب أن يكون هناك بطاقة حمراء واحدة على الأقل، يسحب "المضيف" البطاقة الحمراء. إذا كانت البطاقة المتبقية التي ليست في يد المضيف هي ورقة البستوني، فسيتم تسجيل هذا كدورة يفوز فيها اللاعب بالتغيير؛ أما إذا كان الورقة المتبقية في الطاولة هي البطاقة الحمراء الأخرى، فسيتم تسجيل هذا كدورة يفوز فيها اللاعب بالبقاء على اختياره المبدئي.

حسب قانون الأعداد الكبيرة، فمن المرجح أن هذه التجربة ستحدد تقريبياً احتمالات للفوز، فبإعادة هذه التجربة عدة مرات كافية فأنها لن تثبت فقط بأن اللاعب سيفوز بالتغيير مرتين من أصل ثلاثة مرات، بل أنها ترينا أيضاً سبب ذلك. بعد أن يختار اللاعب إحدى البطاقات التي سنعبر عنها كورقة الاختيار المبدئي، ستكون النتيجة محتمة مسبقاً حيث أن التغيير سيؤدي إلى الفوز بإحتمالاً كبير؛ وهي مرتين من أصل ثلاث مرات يكون فيها البستوني الورقة المختارة بالتغيير.

إذا لم يكن هذا مقنعاً، فيمكن أن تُعمل هذه المحاكاة على مجموعة أوراق كاملة، يختار فيها اللاعب إحدى البطاقات ويبقي 51 ورقة المتبقية(Gardner 1959b;Adams 1990). في هذا النسخة من المحاكاة تكون احتمالية اختيار المضيف لبطاقة البستوني هي 51 مرة من أصل 52، وسيبقى هذه الاحتمال في ازدياد كلما أزداد عدد البطاقات اللا-بستونية التي سيتم كشفها.

التبديل بعد الإزالة سيؤدي إلى تبديل الاحتمالات بين جسمين مختلفين

هنالك طريقة آخرى لفهم المسألة وهي اعتبار أن تبديل الاختيار بعد الإزالة (أي إزالة فرص الخسارة) هي عبارة عن تبديل الاحتمال بين الجسم المختار مبدئياً والجسم المتبقي. بمعنى آخر إذا أُختير الماعز مبدئياً فاحتمال الفوز بها سينتقل إلى السيارة بعد إزا آلة الماعز الآخر والعكس صحيح. أي أن احتمال الفوز بالماعز هي الضعف قبل أن يقوم اللاعب بالإزالة وبقي على اختياره، وينتقل احتمال الفوز إلى السيارة بمقدار الضعف بعد أن تتم إزالة أحد الماعزين وقام اللاعب بتغيير اختياره المبدئي.