books topological features

If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.

# properties of topological spaces # Double topological variables for topological properties # Topological loops # Topological graph theory # Topological spaces # Topological map # Topological stiffness # topological unit # Topological harmonics # Topological vector spaces # Topological degree theory # Topological quantum field theory # Topological groups # Topological processors and computers # topological codon # Topological algebra # Topological complexity # semi-topological space # Continuous topological space # double topological space

خصائص طوبولوجية (Info)

على الرغم من أن التسلسلات الخطية مهمة في دراسة المجموعات المرتبة، فإنها تتضمن تطبيقات في حقل الطوبولوجيا الرياضي. وفي الحقيقة، سنثبت أن المجموعة المرتبة في الترتيب الطوبولوجي هي متصلة إذا كانت تسلسلًا خطيًا فقط (الرجاء ملاحظة الجزء الخاص بـ "الشرطية"). وسنثبت دليلًا واحدًا، ونترك الباقي كتمرين. (أوضح مونكريز الجزء الثاني من الإثبات )

نظرية رياضية

افترض أن X عبارة عن مجموعة مرتبة في الترتيب الطوبولوجي. وإذا كانت X متصلة، عندئذٍ، تكون X تسلسلًا خطيًا.

إثبات:

افترض أن x توجد ضمن X و y توجد ضمن X، حيث x < y. فإذا كان لا يوجد z في X، بحيث إن x < z < y، فلاحظ المجموعات:

A = (-∞, y)

B = (x, +∞)

تكون هذه المجموعات منفصلة (إذا كانت a موجودة في A, a < y وبذلك إذا كانت a موجودة في B, a > x وa < y والتي تصبح مستحيلة حسب الفرضية)، وغير خالية (x توجد في A و y توجد فيB) ومفتوحة (في الترتيب الطوبولوجي) ووحدتها هي X. وهذا يتعارض مع ترابط X.

والآن نحن بصدد إثبات خاصية أصغر حد علوي. إذا كانت C مجموعة X فرعية تحدها من الأعلى ولا يوجد بها أصغر حد علوي، فافترض أن D نقطة ترابط جميع الخطوط المفتوحة للشكل (b, +∞)، حيث تكون b حد C العلوي. وعندئذٍ تكون D مفتوحة (بما أنها نقطة ترابط المجموعات المفتوحة)، ومغلقة (إذا كانت "a" غير موجودة في D، عندئذ فإن a < b تكون لكل حدود b العلوية الخاصة بـ C، وبالتالي يمكننا اختيار q > a، حيث إن q توجد في C (إذا كانت لا توجد q، تكون a هي أصغر حد علوي لـ a، ومن ثم ربما يتم اختيار المجال المفتوح الذي يحتوي على a ولا يتقاطع مع النقطة D). وبما أن D غير خالية (يوجد أكثر من حد علوي لـ D حال وجود حد s العلوي، ستكون s هي أصغر حد علوي. وإذا كان b1 وb2 هما حدان علويان لـ D بـ b1 < b2، إذن b2 ستنتمي إلى D)،وستشكل D مجموعة منفصلة على X. إلا أن هذا يتناقض مع ترابط X.

تطبيقات على النظرية الرياضية

1. لاحظ أنه بما أن المجموعة المرتبة:

A = (-∞, 0) U (0,+∞)

ليست تسلسلًا خطيًا، فهي منفصلة.

2. ومن خلال تطبيق النظرية المثبتة أعلاه، يترتب عليها اعتبار أن R فضاء متصل. وفي الحقيقة أي مجال (أو خط) في R يكون متصلًا أيضًا.

3. لاحظ كيف لا تعتبر الأعداد الصحيحة تسلسلًا خطيًا، وبالتالي يتعذر ربطها.

4. وفي الواقع، إذا كانت هناك مجموعة مرتبة في الترتيب الطوبولوجي تعد تسلسلًا خطيًا، فيجب أن تكون متصلة. وبما أن أي مجال في هذه المجموعة هو أيضًا تسلسل خطي، يترتب على ذلك أن هذا الفضاء يكون متصلاً محليًا نظرًا لأن له أساس يتألف بالكامل من مجموعات متصلة.

5. للحصول على مثال مثير للفضاء الطوبولوجي الذي يكون تسلسلًا خطيًا، انظر الخط الطويل المدي.

Source: wikipedia.org

Unavailable