books probability theory

الأحداث المكملة (Complementary events): الحدثان اللذان اتحادهم يساوي فضاء العينة بمعنى حدث فإن الحدث المكمل حيث

الحدثان المستقلان ( Independent events ): اللذان لا يتأثر أي منهم بالآخر (وقع أحدهم لا يؤثر أو يتأثر بوقوع أو عدم وقوع الآخر) .

قاعدة الضرب للاحتمالات للأحداث المستقلة يمكن تعميم هذه القاعدة لأكثر من حدث :

الأحداث الغير مستقلة (المشروطة) Conditional Probability: حدثان وقوع أحدهما يؤثر في وقوع الآخر مثل سحب ورقة من أوراق اللعب دون إرجاع مما يؤدي لتأثير سحب ورقة جديدة لنقص الفرصة بنقص عدد الأوراق (من 52 إلى 51) فالحدثان , نكتب حدث وقوع بشرط وقوع بالصورة ويكون:

لاحظ أن العلامة خط الكسر ليس علامة القسمة بل علامة شرط وقوع ما يليها من أحداث .

وهو احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B ، قد ترد عبارة أخرى تفيد الشرط كالقول علماً بأن .

وفي حالة الحدثان مستقلان أي لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر ( when A and B are independent events ) يصبح القانون:

مثال:

صندوق يحوي 14 كرة منها 8 حمراء، 6 زرقاء سحبت كرتان (عشوائياً) من الصندوق الواحدة وراء الأخرى دون إرجاع ( أو سحب كرتان معاً ).

أحسب احتمال أن تكون الكرتان حمراء وزرقاء (الأولى زرقاء والثانية حمراء). (أنظر الشكل).

الحل:

ليكن A = حدث سحب كرة حمراء اللون

وليكن B = حدث سحب كرة زرقاء اللون

فالمطلوب هو حيث السحبة الثانية، السحبة الأولى.

لاحظ سحب كرتان نفس اللون = ل(ح، ح) + ل(ز، ز) = (8÷14)×(7÷13) + (6÷14)×(5÷13) = 0.4725 لاحظ سحب كرتان مختلفتان في اللون = ل(ح، ز) + ل(ز، ح) = 0.2637 + 0.2637 = 0.5274 لاحظ مجموع الاحتمالان السابقان 0.4725 + 0.5274 = 0.9999 ≈ 1

قواعد الاحتمال

1) إذا كان حدث من أي أنَّ مجموعة جزئية من فإن: يعبر عن احتمال وقوع الحدث

احتمال وقوع الحدث : يساوي عدد حالات وقوع الحدث بالفعل مقسوم على كل الحالات التي يمكن وقوعها .

2) الحدثان المتكاملان (المتتامان) : حيث يكون: ويمكن استنتاج: أو

أيضاً نقول أن الحدث هو حدث عدم وقوع .

3) مجموع احتمالات الأحداث الشاملة يساوي الواحد الصحيح لأن اتحادها يساوي

4)الحدثان المتنافيان , أي تقاطعهم فإن: , , " ويمكن تعميم ذلك على أكثر من حدثين متنافيين ".

5) إذا كان , حدثان غير متنافيين (متصلين) أو احتمال وقوع أحدهم على الأقل فإن: عملية الطرح هنا للاحتمال لتكراره مرتين عند حساب الاحتمال للجزء المشترك بين , حيث يحسب مرة مع وأخرى مع .

يمكن تعميم القاعدة السابقة لأكثر من حدثين متصلين كالتالي:

6) عدد الأحداث في فضاء النواتج للتجربة العشوائية هو حيث عدد عناصر الفضاء فعدد أحداث تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو حدثاً بما فيهم الحدثان المستحيل والمؤكد حيث :

أمثلــة:

(1) في تجربة إلقاء قطعة نقود وحجر النرد ولمرة واحدة أكتب فضاء النواتج .

الحل: قطعة النقود لها عنصران , صورة وكتابة، وحجر النرد له عناصر هي العداد من إلى وعليه يكون عدد عناصر فضاء التجربة هي:

ويمكن كتابتها اختصاراً بالصورة :

(2) سحبت كرة واحدة فقط من كيس يحوي كرات متماثلة تماماً ألوانها حمراء، سوداء، صفراء فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء

الحل : عدد الكرات التي تحقق المطلوب (حمراء اللون) هو وعدد الكرات التي يمكن أن تسحب يساوي وبافتراض أن هو حدث الكرة حمراء فيكون المطلوب: .

(3) إذا كان احتمال وفاة شخص هو فما احتمال أن يعيش؟

الحل: واضح أن الاحتمال المطلوب هو الحدث المتمم للاحتمال المعطى أي أن مجموعهم يساوي الواحد الصحيح وبفرض أن:

 : حدث أن يعيش الرجل و  : حدث أن يموت الرجل فإن :

(4) بين إن كانت الأحداث الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها ، ، مع العلم بأنها متنافية فيما بينها

الحل: حتى تكون شاملة يجب أن يكون مجموعها يساوي الواحد الصحيح وبجمعها نجد أن: فالأحداث شاملة.

(5) بين إن كانت الأحداث الأربع الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها

الحل: حتى تكون شاملة يجب أن لا يكون أياً منها لا يساوي ولكن وجود الاحتمال المساوي للصفر يعني الحدث فالأحداث غير شاملة.

(6) إذا كان احتمال النجاح في مادة الرياضيات هو واحتمال النجاح في مادة الإحصاء هو واحتمال النجاح في المادتين معاً هو أوجد احتمال النجاح في أحد المادتين على الأقل.

الحل: بتطبيق صيغة الاحتمالات للحوادث المتصلة بفرض أنَّ:

: احتمال النجاح في مادة الرياضيات

 : احتمال النجاح في مادة الإحصاء

: احتمال النجاح في المادتين معاً فأنَّ: