books continuous fracture

تحفيز

الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:

حيث a₀ عدد صحيح، وكل a_i آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (a_i) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).

لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].

لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:

• تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
• تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
• لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
• تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
• بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
• تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.

حساب تمثيل الكسور المستمرة

ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.

صور الكسور المستمرة

أو

أو

وأحيانا

أو

الكسور المستمرة المنتهية

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:

مثل,

الكسور المستمرة للمقاليب

مثل,

الكسور المستمرة غير المنتهية

وبصيغة أخرى:

وتكون الصيغ المتقاربة

بعض المبرهنات المفيدة

إذا كان a₀، a₁، a₂،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب و بالمعاودة:

نظرية 1

لاي موجب

نظرية 2

التقاربات [a₀; a₁, a₂,...]تعطى بالعلاقة

نظرية 3

إذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو ، حينئذ

نشر π في كسر مستمر

الصورة المختصرة:

أو

كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

أنماط منتظمة من الكسور المستمرة

ولدينا أيضا، عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,

إذا كانت n ّعدد فردي

الحالة الخاصة عند n = 1:

الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي

حيث n عدد صحيح موجب; كذلك

و

إذا كانت (I_n(x هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية p/q

الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.

على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :

(...,a_i = (3,1,4,1,5,9,2

لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :

• التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا وفقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
• لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.

[a₀; a₁, … a_n − 1, a_n] = [a₀; a₁, … a_{n − 1}, a_n − 1, 1]

• لكل عدد غير جذري، تمثيل وحيد بالكسور المستمرة.

تاريخ الكسور المستمرة

• في عام 1737، درس ليونهارت أويلر خصائص الكسور المستمرة واستنتج أن e عدد غير جذري.
• في عام 1761، أثبت يوهان لامبرت لأول مرة أن π {displaystyle {pi }} عدد غير جذري. استعمل من أجل هذا الهدف الكسور المستمرة الممثِلة ل tan(x).