books area of triangle

قانون حساب مساحة المثلث

يمكن تعريف المساحة (بالإنجليزية: Area) بأنها كمية الفراغ المحجوز بواسطة الشكل ثنائي الأبعاد، وتُقاس بالوحدات المربعة، ويمكن حساب مساحة المثلث باستخدام مجموعة من القوانين، وذلك بناءً على معطيات السؤال، وهي:

• مساحة المثلث = (1/2)× طول القاعدة× الارتفاع، وبالرموز: مساحة المثلث= (1/2)×ق×ع؛ حيث:
  • ق: طول قاعدة المثلث.
  • ع: ارتفاع المثلث.

• مساحة المثلث= [س×(س-أ)×(س-ب)×(س-جـ)]√؛ حيث:
  • أ، ب، جـ: أطوال أضلاع المثلث الثلاث.
  • س: نصف محيط المثلث، وتساوي: س= (1/2)×(أ+ب+جـ).

• إذا عُلم قياس ضلعين وزاوية محصورة بينهما: مساحة المثلث= (أ×ب×جا س)/ 2: ، حيث:
  • أ، وب: طول ضلعين من أضلاع المثلث.
  • س: الزاوية المحصورة بين الضلعين أ،ب.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيف أحسب مساحة المثلث، قانون مساحة المثلث قائم الزاوية.

• مساحة المثلث متساوي الأضلاع = (3√×أ²)/4، حيث:
  • أ: طول أحد أضلاع المثلث المتساوية.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث متساوي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع.

• مساحة المثلث متساوي الساقين= (1/4)×ب×(4×أ²-ب²)√، حيث:
  • أ: طول أحد الضلعين المتساويين.
  • ب: طول القاعدة، أو الضلع الثالث للمثلث متساوي الساقين.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث متساوي الساقين.

أمثلة على حساب مساحة المثلث

• المثال الأول: ما هي مساحة المثلث متساوي الأضلاع الذي ارتفاعه (ع) 10سم؟
  • الحل: باستخدام نظرية فيثاغورس فإنه يمكن حساب طول ضلع المثلث (أ)؛ وذلك لأن الارتفاع هو العمود المقام من رأس المثلث متساوي الأضلاع إلى منتصف القاعدة، وبالتالي فإنه يشكّل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو أحد الضلعين المتساويين (أ)، ومنتصف القاعدة (أ/2)، والارتفاع هما ضلعا القائمة، وذلك كما يلي:
    • (طول أحد الضلعين المتساويين)²= (الارتفاع)²+(طول القاعدة/2)²، أ² = 10²+ (أ/2)²، 400+أ² = 4أ²، أ= 11.55 سم، وهو طول ضلع المثلث.
    • بتعويض قيمة أ فإن مساحة المثلث متساوي الأضلاع = (3√×أ²)/4 = (3√×11.55²)/4 = 57.7 سم² تقريباً.

• المثال الثاني: ما هي مساحة المثلث حاد الزوايا الذي طول قاعدته 15 سم، وارتفاعه 4 سم؟
  • الحل: مساحة المثلث = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع = (1/2) ×15× 4= 30 سم²

• المثال الثالث: ما هي مساحة المثلث قائم الزاوية الذي طول قاعدته 6 سم، وارتفاعه 9 سم؟
  • الحل: مساحة المثلث = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع = (1/2)×6×9 = 27 سم²

• المثال الرابع: إذا كانت مساحة سجادة مثلثة الشكل تساوي 18م²، وطول قاعدتها 3م، فما هو ارتفاعها؟
  • الحل:
  • مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع، وبتعويض القيم في القانون ينتج أن:
    • 18 = (1/2)×3×الارتفاع، وبضرب الطرفين بـ (2) فإن: 36= 3×الارتفاع، وبقسمة الطرفين على (3) فإن: الارتفاع = 12م.

• المثال الخامس: إذا كان المثلث أ ب جـ فيه قياس الزاوية (ب) 145 درجة، وقياس أب يساوي 4سم، وقياس ب جـ يساوي 3سم، فما هي مساحة المثلث؟
  • الحل: مساحة المثلث= (1/2)×الضلع الأول×الضلع الثاني×جا (الزاوية المحصورة بينهما) = (1/2)×3×4×جا(145)= 3.44 سم²

• المثال السادس: مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 5 وحدات، وقياس الزاوية المحصورة بين الوتر، والقاعدة يساوي 28 درجة، فما هي مساحة المثلث؟
  • الحل:
  • لحساب مساحة المثلث يجب أولاً إيجاد الارتفاع وذلك لأن مساحة المثلث= 1/2×طول القاعدة×الارتفاع، ولحساب الارتفاع يمكن اتباع ما يلي:
    • يشكل الارتفاع الضلع المقابل للزاوية 28 درجة، والقاعدة هي الضلع المجاور لها، وعليه: ظا (28) = المقابل/ المجاور، ومنه:
    • 0.5317 = الارتفاع/5، ومنه: الارتفاع = 2.66 تقريباً.
  • مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع= (1/2)×5×2.66= 6.65 وحدة مربعة تقريباً.

• المثال السابع: مثلث طول قاعدته 7س، وارتفاعه 4س، فإذا كانت مساحته تساوي 28 وحدة مربعة، فما هو طول قاعدته، وارتفاعه؟
  • الحل:
  • مساحة المثلث= (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع، وبالتعويض في هذا القانون فإن:
    • 28=(1/2)×7س×4س، 28 = 14 س²، ومنه: س= 2√.
  • طول القاعدة = 7 س = 2√7.
  • الارتفاع = 4س = 2√4.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث رياضيات عن المثلثات.