books taylor series
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
متسلسلة تايلور (Info)
في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنجليزية: Taylor series) هو تمثيل لدالة رياضية في شكل متسلسلة متكونة من حدود حُسبن باستعمال قيم اشتقاق هذه الدالة في نقطة معينة.
اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك عام 1715.
إذا تعلق الأمر بنقطة الصفر، فإن هذه المتسلسلة قد تسمى أيضا متسلسلة ماكلورين نسبة إلى عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين الذي استعمل هذه الحالة الخاصة بشكل مكثف خلال القرن الثامن عشر.
المجموع الجزئي المكون من الحدود n الأولى لمتسلسة تايلور هو متعددة حدود من الدرجة n يسمى متعددة الحدود لتايلور. متعددات الحدود لتايلور من تقريبات للدالة التي حُسبن عليها هؤلاء المتعددات تزداد دقة كلما كبرت قيمة n. تقدر مبرهنة تايلور كمية الخطأ الذي يفصل الدالة عن هؤلاء التقريبات. دالهٌ قد لا تساوي المجموع غير المنتهي لمتسلسة تايلور، حتى وإن كانت هذه المتسلسة متقاربة. يُقال عن دالة أنها تحليلية في نقطة x إذا كانت مساوية للمجموع غير المنتهي لمتسلسلة تايلور في جوار مفتوح ما (أو قرص مفتوح في المستوى العقدي) يحتوي على x. في هذه الحالة تكون الدالة تحليلية ليس فقط عند x وإنما عند جميع نقط هذا الجوار أو هذا القرص.
تعريف
متسلسلة تايلور المنتهية
إذا كانت الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة فإنه يمكن كتابتها كما يلي:
حيث يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:
أو
و يمكن اعتبار متعدد الحدود تقريبا للدالة f في النقطة
متسلسلة تايلور اللامنتهية
إذا اعتُبرت المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضت n بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.
أو
تاريخ
فكر في جمع متسلسلة غير منتهية عالم الرياضيات الإغريقي زينون الإيلي. ولكنه سرعان ما ترك هذا الأمر، مما أعطاه مفارقة من مفارقاته المعروفة باسم مفارقات زينون.
خلال القرن السابع عشر، عمل جيمس غريغوري على هذا المجال، ونشر عدة أمثلة لهؤلاء المتسلسلات في النقطة الصفر. في عام 1715، نشر بروك تايلور طريقة عامة تمكن من إنشاء هؤلاء المتسلسلات بالنسبة لجميع الدوال. نتيجة لذلك، سمين نسبة إليه.
