books solving spherical triangles

يحدَّد المثلث الكروي العام بالكامل من قبل ثلاث من خصائصه السِتَّة (3 أقواس و 3 زوايا). أطوال الأقواس a ، و b ، و c للمثلث الكروي هي زواياها المركزية، تقاس بوحدات الزَّاوية بدلاً مِن وحدات الطُّول. (في كُرة الوِحدة، كرة نصف قطرها يساوي الواحد الصحيح من وِحدات الطُّول، تكون الزاوية (بالرَّاديان) والطول حول الكرة متماثلة عدديًّا. وفي الكُرات الأُخرى، تكون الزَّاوية (بالرَّاديان) مُساوية للطول حول الكرة مقسومًا على نصف القطر. ويُشْتَقُّ عادً من جنس رموز أقواس أو جوانب المُثَلَّث الكُرَوِيّ رُموزًا لزواياهُ بِحيثُ تَكُوْنُ الحروف كبيرة هكذا A ، و B ، و C وهي نفسها بالرموز اللاتينية ألفا α ، بيتا β ، جاما γ ، بحيث يقابُل كلُّ رمزٍ في تِلْكَ الأقواس نَظِيْرَهُ مِن الزَّوايا المُقابِلة وهي الزَّوايا على السَّطح الخارجي للمُثَلَّثِ الكُرَوِيّ.

تختلف الهندسة الكروية عن الهندسة الإقليدية المستوية، لذا فإن حَلَّ المثلثات الكروية مبني على قواعد مختلفة. على سبيل المثال، يعتمد مجموع الزوايا الثلاث α + β + γ على حجم المثلث.

ويعتمد المُثَلَّث الكُرويّ على أقواس ضِمْن دوائر مركزها مركز الكُرة فقط وليس مَثلًا كدوائر العَرض شَمال وجنوب الإستواء في الكُرَةِ الأرضيَّة فمركزُ كُلٍّ مِنها يكون نُقطة على المحور الطولي الواصل بين القطبين لِذا مُحيطها أقل من مُحيط دائرة الإستواء.

بالإضافة إلى ذلك، لا يمكن أن تكون المثلثات المتشابهة غير متساوية، لِذا فإنَّ مشكلة إنشاء مثلث بثلاث زوايا محددة لها حَلٌّ فريد. العلاقات الأساسية المستخدمة لِحل مشكلة مماثلة لتلك الموجودة في الحالة المستوية: انظر قوانين الجيب وجيب التمام للمثلثات الكروية.

من بين العلاقات الأخرى التي قد تكون مفيدة هي صيغة نصف القوس وصيغ نابير:

ثلاث أقواس معطاة (SSS كروي)

المعلومة: الأقواس a ، و b ، و c (بوحدات الزاوية). تحسب زوايا المثلث A ، و B ، و C وهي نفسها بالرُّمُوز اللاتينية ألفا α ، بيتا β ، جاما γ ، باستخدام قانون جيب التَّمام للمثلثات الكروية:

قوسان وزاوية محصورة معطاة (SAS كروي)

المعلومة: الأقواس a ، و b ، والزاوية المحصورة بينهما γ أو C وهي المقابلة للقوس c فَتُحسَبُ قِيْمَتُهُ باستخدام قانون جيب التمام للمثلثات الكروية:

يمكن حساب الزوايا α, β على النَّحوِ الوارد أعلاه، أو باستخدام صيغ نابير:

في المِلاحة تنشأ مُعضِلة في إيجاد الدَّائرة العُظْمَى بين نقطتين على الأرض يحددها خط العرض وخط الطول (حيث يعتمد المُثَلَّث الكُروي على أقواس ضِمْن دوائر مركزها مركز الكُرة فقط )؛ في هذا التَّطبيق باستخدام دالة الظِّلّ tan، لِذا فمن المهم استخدام صيغ ليست عُرضةً لأخطاء التَّقريب ، وَلِهذا الغَرَض يُمكن استخدام الصَّيغ التَّالية (التي يمكن اشتقاقها باستخدام الجبر المتجهي):

حيث يجب استخدام إشارات البسط والمقام في هذه التَّعبيرات لتحديد ربع قوس الظل.

قوسان وزاوية غير محصورة معطاة (SSA كروي)

المعلومة: الجوانب b ، وc والزَّاوية β ليست محصورة بينهما. هذه المشكلة قَد لا تَكُونُ قابلةً لِلحَلِّ بِشَكْلٍ مُباشِرٍ؛

حيثَ أنَّ قيمة الزَّاوية β يُحتَمَل كونُها حادة أو مُنْفَرِجة عِنْدَ تَطبيق قانون الجيب للمثلثات الكروية في إيجاد قيمتها كخطوة لازمة لمعرفة بقية عناصر المُثَلَّث؛

ويُكونُ الحَلُّ مُباشِرًا فقط إذا كان طُول القَوْس b المُجاور للزَّاوية المجهولة γ والقوس الآخر c المُقَابِل لها كلاهما أقَلّ مِن أو يساوي 90 درجة قوسية ؛

فيوجد حَلٌّ مُباشِرٌ إذا تحقَّقَ الشَّرط التَّالي:

فَيمكن على سَبيلِ المِثالِ إيجاد الزاوية γ مِن قانون الجيب للمثلثات الكروية:

أمَّا فيما سِوَى ذَلِكَ فيكون الحَلُّ غير مُبَاشِر كما في حالة المُثلثات المُستوية، إذا كانت b < c فالحَلُّ يكون :

180° - γ ؛ وليس أي γ ؛

أي هكذا :

بَعدَها يُمكننا إيجاد العُنصرَين المُتَبِقِّيَيْنِ مِن المُثَلَّثِ الكُرَوِيّ القوس a ، والزَّاوية المُقَابِلَة له A أو ألفا α ، باستخدام صِيَغ نابير:

ملاحظة تطبيقيَّة : يمكن صِياغَة مُعادَلة جَبريَّة لِتُطَبَّق بشكلٍ مباشر على غِرار قاعدة (if) في الإكسيل لكن على خطوتين؛

الخطوة الأولى إيجاد إشارة موجبة أو سالبة تُعَبِّرُ عَن النسبة بين قيمة القوس c المُقابِل للزاوية المجهولة γ وبين القوس b المُجاوِر لها ، هكذا:

؛

حَيْثُ 10^-15 قيمة مُضافَة لمنع القِسمة ÷ صفر عند تساوي قيمتي c ، b وهي قِيْمَة مُهْمَلَة وأقل مِن الفروق الطبيعية المُستخدمة عادةً والقوسان |.... | بهذا الشَّكْل يُمَثِّلان الفَرَق المُطلَق أو الموجب دائمًا بين القيمتين ؛

الخطوة الثانية هي صياغة معادلة إيجاد الزَّاوية γ المُقابِلة للقوس c مع إضافة ناتج الخطوة الأولى حيث المقدار تتغير قيمته بموجب أو سالب حَسَب تطبيق الخطوة الأولى، ويتم ضرب ناتجها في 90 وكذلك في نَصِّ معادلة قانون الجيب للمثلثات وبهذا التَّطبيق تؤول المُعادلة لِلصورة:

فقط في حالة كان ناتج الخطوة الأولى = -1، وذلك عندما تكونُ قيمة القوس c المُقابِل للزَّاوية γ أصغر مِن قيمة القوس b المُجاوِر لها، وهي التي تُعادِل الصُّورة :-

وأهمية هذه المُعادِلة تَكْمُن في حالة التَّعويض عن مِن نَصِّ المُعادلة بالخطوة الأولى بعد علامة = في نَصِّ المعادلة الثانية فتصير المعادلة مِن خطوة واحدة مُباشرة هكذا :-

حيث تؤول القيم المُضافة للمُعادلة الأصلية إلى (90 + 90 - المعادلة الأصلية) في حالة ضرورة طرح ناتجها مِن 180؛ وتؤول إلى (90 - 90 + المُعادلة الأصلية) في حالة عَدَم الحاجة إلى الطَّرح، ويمُكِن بالتحقيق الجَبري التَّأكُّد مِن صِحةِ العلاقة؛ وتُطبَّقُ أيضًا في حالة وجود احتمالين بقانون الجيب لحل المُثلَّثات المستوية لكن بالنسبة المباشرة بين الضِلعين c و b بلا حساب جيب كل منهما.

قوس وزاويتان مجاورتان معطاة (ASA كروي)

المعلومة: القوس c والزوايا α, β. أولاً، نحدد الزاوية γ باستخدام قانون جيب التمام لـ م.ك :

يمكن ايجاد قوسين مجهولين مِن قانون جيب التمام (باستعمال الزاوية المحسوبة γ):

أو باستخدام صيغ نابير:

قوس وزاوية مجاورة وزاوية مقابلة معطاة (AAS كروي)

المعلومة: القوس a والزوايا α, β. يمكن ايجاد القوس b قانون الجيب لـ م.م:

إذا كانت الزاوية المركزية المقابلة للقوس a حادة و α > β، هناك حل آخر:

يمكننا ايجاد خصائص أخرى باستخدام صيغ نابير:

ثلاث زوايا معلومة (AAA كروي)

المعلومة: الزوايا α, β, γ. من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية، نستنتج:

حل المثلثات الكروية قائمة الزاوية

تصبح الخوارزميات أعلاه أبسط بكثير إذا كانت إحدى زوايا المثلث (على سبيل المثال ، الزاوية C) هي زاوية قائمة. يتم تعريف مثل هذا المثلث الكروي بالكامل بواسطة عنصريه، ويمكن حساب العناصر الثلاثة الأخرى باستخدام العلاقات التالية:

(من قانون الجيب لـ م.ك)

(من قانون جيب التمام لـ م.ك)

(من قانون جيب التمام لـ م.ك)