books solving flat triangles

مثلث الشكل العام له ست مميزات رئيسية (انظر الصورة): أطوال الأضلاع a ، و b ، و c وثلاثة زوايا (α ، β ، γ). تتمثل معضلة حساب المثلثات الكلاسيكي في تحديد ثلاث من الخصائص الست وتحديد الثلاث الأخرى. يمكن تحديد المثلث بصورة فريدة بهذا المعنى عند إعطاء أي مما يلي:

• ثلاث أضلاع (SSS)

• ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS)

• ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما (SSA)، إذا كان طول الضلع المجاور للزاوية أقصر من طول الضلع الآخر.

• ضلع وزاويتان مجاورتان له (ASA)

• ضلع والزاوية المقابلة له والزاوية المجاورة له (AAS).

النسبة لجميع الحالات في المستوي، يجب تحديد واحد على الأقل من أطوال الأضلاع. إذا أعطيت الزوايا فقط، فلا يمكن تحديد أطوال الأضلاع، لأن أي مثلث مشابه هو الحل.

العلاقات المثلثية

الطريقة الأساسية لحل المعضلة هي استخدام العلاقات الأساسية.

قانون جيب التمام

قانون الجيب

مجموع الزوايا

قانون الظل

هناك علاقات عامة أخرى (مفيدة عمليًا في بعض الأحيان): قانون ظل التمام وصيغة مولفيده.

ملاحظات

1. لإيجاد زاوية مجهولة، فإن قانون جيب التمام أكثر أمانًا من قانون الجيب. والسبب هو أن قيمة الجيب لزاوية المثلث لا تحدد هذه الزاوية بصورة فريدة. على سبيل المثال، إذا كانت sin β = 0.5، يمكن أن تساوي الزاوية إما 30 درجة أو 150 درجة. استخدام قانون جيب التمام يتجنب هذه المشكلة: عند المجال من 0 درجة إلى 180 درجة تحدد قيمة جيب التمام بشكل لا لبس فيه زاويته. من ناحية أخرى، إذا كانت الزاوية صغيرة (أو قريبة من 180 درجة)، فعندئذٍ يكون تحديدها من جيبها أكثر من جيب تمامها لأن دالة جيب التمام العكسية لها مشتق متباين عند 1 (أو −1).
2. نفترض أن الوضع النسبي لخصائص محددة معلوم. إذا لم يكن كذلك، فإن انعكاس المرآة للمثلث سيكون أيضًا حلًا. على سبيل المثال، تحدد ثلاثة أطوال أضلاع بصورة فريدة إما مثلثًا أو انعكاسًا له.

ثلاث أضلاع معطاة (SSS)

لتكن ثلاث أضلاع معلومة A و B و C. لإيجاد الزوايا α و β، يمكن استخدام قانون جيب التمام:

عندئذ تساوي الزاوية γ:

γ = 180° − α − β

توصي بعض المصادر بإيجاد الزاوية β من قانون الجيب ولكن هناك خطر من خلط قيمة الزاوية الحادة مع قيمة الزاوية المنفرجة.

طريقة أخرى لحساب الزوايا من الأضلاع المعلومة هي تطبيق قانون ظل التمام.

ضلعان وزاوية محصورة معطاة (SAS)

هنا، أطوال الأضلاع a ، و b والزاوية γ المحصورة بين هذه الأضلاع معلومة.  يمكن تحديد الضلع الثالث من قانون جيب التمام:

الآن نستخدم قانون جيب التمام لإيجاد الزاوية الثانية:

وأخيرًا، β = 180° − α − γ.

ضلعان وزاوية غير محصورة معطاة (SSA)

هذه الحالة غير قابلة للحل في جميع الحالات؛  يتم ضمان أن يكون الحل فريدًا فقط إذا كان طول الضلع المجاور للزاوية أقصر من طول الضلع الآخر. نفترض أن ضلعين b و c والزاوية β معلومتان. يمكن ايجاد معادلة الزاوية γ من قانون الجيب:

نضع D = c/b sin β (الجهة اليمنى للمعادلة).  هناك أربع حالات ممكنة:

1. إذا كان D > 1: فلا يوجد مثل هذا المثلث لأن الضلع b لا يصل إلى القطعة المستقيمة BC. ولنفس السبب لا يوجد حل إذا كانت الزاوية β ≥ 90° ، و b ≤ c.
2. إذا كان D = 1: يوجد حل وحيد: γ = 90°، أي أن المثلث قائم الزاوية.
3. إذا كان D < 1: هناك بديلان ممكنان:
   1. إذا كانت b ≥ c: فإن β ≥ γ (الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى). بما أنَّهُ لا يمكن أن يكون للمثلث أكثر من زاوية منفرجة، فإن γ هي زاوية حادة والحل γ = arcsin D فريد.
   2. إذا كانت b < c: فقد تكون الزاوية γ حادة: γ = arcsin D أو منفرجة: γ′ = 180° - γ. يوضح الشكل الموجود على اليسار النقطة C والضلع b والزاوية γ كحل أول، والنقطة B′ والضلع c′ والزاوية γ" كحل ثان.

عند الحصول على الزاوية γ تُحسب الزاوية الثالثة بتطبيق متطابقة مجموع الزوايا:

α = 180° − β − γ

عندئذٍ يمكن ايجاد الضلع الثالث مِن قانون الجيب:

أو

ضلع وزاويتان مجاورتان معطاة (ASA)

الخصائص المعلومة هي الضلع c والزوايا α, β. الزاوية الثالثة γ = 180° − α − β.

يمكن حساب ضلعين مجهولين بتطبيق قانون الجيب:

أو

ضلع وزاوية مجاورة وزاوية مقابلة معطاة (AAS)

إجراء حل مثلث AAS هو نفس الإجراء الخاص بمثلث ASA: أولاً، نبحث عن الزاوية الثالثة باستخدام خاصية مجموع زوايا المثلث، ثم نبحث عن الضلعين الآخرين باستخدام قانون الجيب.

أطوال أخرى معطاة

في كثير من الحالات، يمكن حل المثلثات انطلاقًا من بعض المعلومات ، بعضها أطوال متوسطات المثلث أو الارتفاعات أو منصفات الزوايا. يسرد الكتاب "The Secrets of Triangles" للعالمين بوسامنتيير وليمان نتائج مسألة قابلية الحل فقط باستخدام الجذور التربيعية (أي قابلية الإنشاء) لعدد 95 حالة متميزة؛ 63 مِن تلك الحالات قابلة للإنشاء.