books logical systems
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
الأنظمة المنطقية (Info)
تعد السلامة بين أهم الخصائص الأساسية للمنطق الرياضي. فخاصية السلامة توفر السبب المبدئي لاعتبار النظام المنطقي مستحبًا. بينما تعني خاصية الاكتمال أن كل شيء صحيح (حقيقة) يمكن إثباتها. وكلاهما معًا قد يعنيان أنه يمكن إثبات جميع الأشياء الصحيحة والأشياء الصحيحة فقط.
إن معظم براهين السلامة براهين تافهة. فعلى سبيل المثال، في نظام البديهيات، يهدف برهان السلامة إلى إثبات صحة البديهيات وأن قواعد الاستدلال تحفظ الشيء الصحيح (أو الخاصية الأضعف، وهي الحقيقة). فمعظم أنظمة البديهيات لديها قاعدة وحيدة لـ قانون الاستلزام (وأحيانًا الإحلال), ومن ثم يلزم فقط إثبات صحة البديهيات وقاعدة استدلال واحدة.
تنقسم خصائص السلامة إلى قسمين أساسيين مختلفين: السلامة الضعيفة والسلامة القوية، والقسم الأول هو شكل مقيد من القسم الثاني.
السلامة
إن سلامة نظام الاستنباط هي خاصية أن كل جملة يمكن إثباتها في نظام الاستنباط هذا هي جملة حقيقية أيضًا من حيث جميع تفسيرات أو بنيات النظرية الدلالية الخاصة باللغة التي تعتمد عليها تلك النظرية. باستخدام الرموز، إذا كانت S هي نظام الاستنباط وكانت L هي اللغة مع النظرية الدلالية خاصتها، وكانت P هي جملة L: إذا كانت ⊢S P, إذن أيضًا ⊨L P.
السلامة القوية
إن السلامة القوية لنظام الاستنباط هي خاصية أن كل جملة P في اللغة التي يقوم عليها نظام الاستنباط والتي يمكن اشتقاقها من مجموعة من الجمل Γ في تلك اللغة هي أيضًا قضية شرطية لتلك المجموعة، من حيث إن أي نموذج يجعل جميع أعضاء Γ حقيقيين يجعل أيضًا P حقيقية. باستخدام الرموز عندما تكون Γ مجموعة من جمل L: إذا كانت Γ ⊢S P, فإن أيضًا Γ ⊨L P. لاحظ أنه في بيان السلامة القوية، عندما تكون Γ فارغة، فلدينا بيان لسلامة ضعيفة.
السلامة الحسابية
إذا كانت T هي نظرية يمكن تفسير عناصرها بأنها أعداد طبيعية, فسنقول إن T سليمة حسابيًا إذا كانت جميع مبرهنات T حقيقية فعلاً من حيث الأعداد الصحيحة الحسابية القياسية. لمزيد من المعلومات انظر نظرية تناسب أوميغا (ω).
