books exponent and root

If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.

# Positive exponent # negative exponent # The exponent is an integer # The exponent is a positive integer # The exponent is equal to zero # The exponent is a negative integer # The exponent of a rational number # Examples of models for the polytropic exponent # The exponent is a harbinger of history # drop exponent # The exponent in from the head # The exponent of the head of Alex Al-Suyuti # exponent # tide # Waves and tides # tidal movements # The negative exponent and the scientific picture # The exponent, square and cube in mathematics # pH indicators # pH meter

الأس والجذر (Info)

إثبات أن 1=-1

نسخة 1

نبدأ بالمطابقة

نحول طرفي المعادلة إلى كسور عامية

بتطبيق قاعدة الجذر على الطرفين نجد أن

بضرب الطرفين × نحصل على

إن تربيع أي جذر تربيعي يعطي الرقم الأصلي وعليه

و هو المطلوب إثباته (هـ.ط.ث. Q.E.D.)

بالطبع الاثبات غير مشروع لأنه تم تطبيق قاعدة الجذر التربيعي بطريقة خاطئة.

يكون هذا صحيحا فقط عندما تكون قيم x و y أعداد حقيقية موجبة وهذا مالم يتم اقتضاؤه سابقا. على هذا الأساس فالبرهان خاطئ

نسخة 2

بواسطة التلاعب بالأساسات، يمكن اشتقاق البراهين الخاطئة التالية:

هـ.ط.ث.

تكون القاعدة عموما مشروعة فقط إذا كان أحد الأعداد x أو y على الأقل موجبا، وهذه ليست الحال هنا. بطريقة أخرى يمكن للمرء النظر للجذر التربيعي على أنه دالة ثنائية القيمة في الأعداد المركبة وفي هذه الحال يقدر طرفا المعادلة السابقة بـ{1, −1}.

كذلك يقتضى أنه إذا كان الجذر التربيعي في بداية مسألة تكون الإجابة الموجبة هي الوحيدة المطلوبة، ولذلك إذا

بدأنا بـ1=1 ثم البناء حتى سنصل في النهاية إلى 1= ± 1

تقنيا نستخلص أن تعويض ± 1 = ± 1 فيما سبق يصل بنا إلى النتيجة الخاطئة 1 = 1, 1 = -1, -1 = 1, -1 = -1

نسخة 3

بالعبور إلى ومن الأعداد الحقيقية للأعداد المركبة يمكن اشتقاق الاثبات الغير مشروع كما يلي:

هـ.ط.ث.

المعادلة a^bc = (a^b)^c لأي عددين حقيقيين b وc عمومامشروعة فقط عندما يكون a موجبا، وهذه الحالة ليست هنا.

نسخة 4

بالاستعانة بالمتطابقة المثلثية

برفع طرفي المعادلة للقوة 3/2 نحصل على

والان لتكن x = π. حينئذ

هـ.ط.ث.

في هذا البرهان، بدأت المغالطة في الخطوة الثالثة، حيث تم تطبيق القاعدة (a^b)^c = a^bc دون التأكد من أن a موجبة القيمة. أيضا، في الخطوة الرابعة، لم يتم الكشف عن جميع الجذور الممكنة . مع أن 1 يعتبر جذرا، −1 هو جذر أيضا.

بالغاء الإجابة الخاطئة 1 يتبقى لدينا الإجابة الصحيحة −1 = −1.