كتب exponent and root
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
الأس والجذر (معلومة)
إثبات أن 1=-1
نسخة 1
نبدأ بالمطابقة
نحول طرفي المعادلة إلى كسور عامية
بتطبيق قاعدة الجذر على الطرفين نجد أن
بضرب الطرفين × نحصل على
إن تربيع أي جذر تربيعي يعطي الرقم الأصلي وعليه
و هو المطلوب إثباته (هـ.ط.ث. Q.E.D.)
بالطبع الاثبات غير مشروع لأنه تم تطبيق قاعدة الجذر التربيعي بطريقة خاطئة.
يكون هذا صحيحا فقط عندما تكون قيم x و y أعداد حقيقية موجبة وهذا مالم يتم اقتضاؤه سابقا. على هذا الأساس فالبرهان خاطئ
نسخة 2
بواسطة التلاعب بالأساسات، يمكن اشتقاق البراهين الخاطئة التالية:
هـ.ط.ث.
تكون القاعدة عموما مشروعة فقط إذا كان أحد الأعداد x أو y على الأقل موجبا، وهذه ليست الحال هنا. بطريقة أخرى يمكن للمرء النظر للجذر التربيعي على أنه دالة ثنائية القيمة في الأعداد المركبة وفي هذه الحال يقدر طرفا المعادلة السابقة بـ{1, −1}.
كذلك يقتضى أنه إذا كان الجذر التربيعي في بداية مسألة تكون الإجابة الموجبة هي الوحيدة المطلوبة، ولذلك إذا
بدأنا بـ1=1 ثم البناء حتى سنصل في النهاية إلى 1= ± 1
تقنيا نستخلص أن تعويض ± 1 = ± 1 فيما سبق يصل بنا إلى النتيجة الخاطئة 1 = 1, 1 = -1, -1 = 1, -1 = -1
نسخة 3
بالعبور إلى ومن الأعداد الحقيقية للأعداد المركبة يمكن اشتقاق الاثبات الغير مشروع كما يلي:
هـ.ط.ث.
المعادلة abc = (ab)c لأي عددين حقيقيين b وc عمومامشروعة فقط عندما يكون a موجبا، وهذه الحالة ليست هنا.
نسخة 4
بالاستعانة بالمتطابقة المثلثية
برفع طرفي المعادلة للقوة 3/2 نحصل على
والان لتكن x = π. حينئذ
هـ.ط.ث.
في هذا البرهان، بدأت المغالطة في الخطوة الثالثة، حيث تم تطبيق القاعدة (ab)c = abc دون التأكد من أن a موجبة القيمة. أيضا، في الخطوة الرابعة، لم يتم الكشف عن جميع الجذور الممكنة . مع أن 1 يعتبر جذرا، −1 هو جذر أيضا.
بالغاء الإجابة الخاطئة 1 يتبقى لدينا الإجابة الصحيحة −1 = −1.
اثبات أنx = y لأي أعداد حقيقية x وy
إذا كان ab = ac"، فإن b = c. لذلك، بما أن1x = 1y، يمكننا استنباط أن x = y.
هـ.ط.ث.
الخطأ في هذا الاثبات يقع في الحقيقة أن القاعدة المنصوص عليها صحيحة فقط لعدد موجب a لا يساوي 1.
اثبات أن الجذر التربيعي لـ 1 = -1
هـ.ط.ث.
يقع الخطأ هنا في السطر الأخير من الاثبات، حيث أهملنا الجذور الرباعية الأخيرة لـ1، وهي −1, i
و− i (حيث أن i هي الوحدة التخيلية).
