books engineering models

نظرة عامة حول المجسمات الهندسية

هناك الكثير من الأجسام ثلاثية الأبعاد؛ كالقلم، والكتاب، ومخروط البوظة، وكرة القدم من حولنا، والتي تعتبر جميعها أمثلة على المجسمات الهندسية (بالإنجليزية: Solids) والتي هي عبارة أشكال لها ثلاثة أبعاد هي الطول، والعرض، والارتفاع؛ كالكرة، والمكعّب، والهرم، والأسطوانة، وهي تتميز بأن لها حجماً، ومساحة سطح، وزوايا، وعدة أوجه وحواف أيضاً، ويمكن توضيح هذه المفاهيم كما يلي:

• مساحة السطح: (بالإنجليزية: Surface Area) هي المساحة التي تغطّي الشكل ثلاثي الأبعاد من الخارج، وتقاس بالوحدة المربعة، وتقسم إلى ثلاثة أقسام، وهي:
  • مساحة السطح المنحني: (بالإنجليزية: Curved Surface Area)، وتمثّل مساحة الأسطح المنحنية.
  • المساحة الجانبية: (بالانجليزية: Lateral Surface Area)، وتمثل مساحة الشكل بالكامل، بحيث تشمل الأسطح المحنية، والمستوية، باستثناء مساحة القاعدة.
  • المساحة الكلية: (بالإنجليزية: Total Surface Area)، وتمثّل مساحة الشكل كاملاً بما فيه مساحة القاعدة.
• الحجم: (بالإنجليزية: Volume) يعرف الحجم بأنه كمية المادة التي توجد داخل الشكل ثلاثي الأبعاد، ويقاس بالوحدة المكعبة.

يمكن تطبيق القاعدة المعروفة باسم (Euler's Formula) على العديد من الأشكال الهندسية، وهي:

• عدد الأوجه + عدد الرؤوس - عدد الأضلاع، أو الحواف = 2.
  • فمثلاً: المكعب له ستة وجوه، وثمانية رؤوس، واثنا عشر ضلعاً، وبتطبيق هذه القاعدة فإن: 6+8-12=2.

يجدر بالذكر هنا أن هناك نوعين من المجسّمات تبعاً لشكل السطح، وهي:

• الأجسام متعددة السطوح: (بالإنجليزية:Polyhedrons) وهو الشكل الذي تكون جميع أسطحه مسطحة، وتجدر الإشارة إلى أن هذه الكلمة مشتقة من الكلمة الإغريقية (poly) التي تعني الكثير، و(hedron) التي تعني سطح، ومن الأمثلة عليه:
  • المكعب: هو الشكل الذي يحتوي على ستة أوجه مربعة الشكل.
  • المنشور الثلاثي: هو الشكل الذي يحتوي على قاعدتين مثلثتي الشكل على طرفيه، ووجوه جانبية مستطيلة الشكل.
  • الهرم الثلاثي: هو شكل يضم قاعدة مثلثة الشكل، ووجوهاً جانبية مثلثة الشكل.
• الأجسام غير متعددة السطوح: (بالإنجليزية:Non-Polyhedra) هو الشكل الذي يحتوي على سطح واحد على الأقل غير مسطّح، ومن الأمثلة عليها؛ الكرة، والاسطوانة، والمخروط.

أشهر المجسمات الهندسية

المكعب

يمكن تعريف المكعب (بالإنجليزية: Cube) على أنه حالة خاصة من متوازي المستطيلات، ويحتوي على ستة أوجه متطابقة ومربعة الشكل، ومن أشهر الأمثلة عليه هي الصناديق مكعبة الشكل من حولنا، وهو يحتوي على 12 ضلع مستقيم ومتساوٍ في الطول تُعرف بحواف المكعب، وثمانية رؤوس تشكّل زواياه، وتنتج من التقاء أطراف حوافه معاً، لتشكّل الحواف الهيكل الخارجي له، كما تلتقي الوجوه معاً عند الحواف، ليشترك كل وجهين بحافة مشتركة بينهما، وهناك مجموعة من القوانين الخاصة بالمكعب، ومنها:

• حجم المكعب: قانون حجم المكعب هو: الطول×العرض×الارتفاع، وبما أن أطوال أضلاع المكعب جميعها متساوية في الطول فإن: حجم المكعب = الضلع×الضلع×الضلع = (طول الضلع)³.
• مساحة سطح المكعب: بما أن المكعب يحتوي على ستة وجوه، وكل وجه من وجوه المكعب هو مربع الشكل، ومساحة المربع = (طول الضلع)²؛ فإن: مساحة سطح المكعب = 6×طول الضلع².

لمزيد من المعلومات حول المكعب يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون حجم المكعب، كيفية حساب حجم المكعب، قانون مساحة المكعب، عدد أضلاع المكعب.

متوازي المستطيلات

يحتوي متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid) على ستة وجوه مستطيلة الشكل، ويكون كل وجهين متقابلين في متوازي المستطيلات متطابقان، ويحتوي متوازي المستطيلات على 8 رؤوس، و 12 ضلع يشكلون حوافه، وتجدر الإشارة إلى أن المكعب يمثّل حالة خاصة من متوازي المستطيلات؛ فالمكعب يحتوي على ستة أوجه مربعة الشكل جميعها متطابقة، أما متوازي المستطيلات فيحتوي على 6 أوجه مستطيلة الشكل، و يكون فيه فقط كل وجهين متقابلين متطابقان كما ذُكر سابقاً، وهناك مجموعة من القوانين الخاصة بمتوازي المستطيلات، وهي:

• حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع.
• المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات= 2×الطول×الارتفاع + 2×العرض×الارتفاع.
• المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= المساحة الجانبية + (2×الطول×العرض).

لمزيد من المعلومات حول متوازي المستطيلات يمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف متوازي المستطيلات، قانون مساحة متوازي المستطيلات، قانون حجم متوازي المستطيلات.

الكرة

يمكن تعريف الكرة (بالإنجليزية: Sphere) بأنها شكل ثلاثي الأبعاد دائري الشكل، وكل نقطة على سطح الكرة تبتعد عن مركزها مسافة متساوية تمثل نصف قطر الكرة، وتتميز الكرة بأنها ليس لها رؤوس، أو حواف، ولها سطح واحد منحنٍ، وهناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالكرة، ومنها:

• المساحة الكلية للكرة = 4×π×نق²
• حجم الكرة= 4/3×π×نق³؛،حيث:
  • π : ثابت عددي له قيمة تقريبية تساوي 3.14، أو 22/7.
  • نق: نصف قطر الكرة.

لمزيد من المعلومات حول الكرة يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة وحجم الكرة، قانون مساحة سطح الكرة، قانون حجم الكرة في الرياضيات.

المخروط

يمكن تعريف المخروط (بالإنجليزية: Cone) على أنه هرم له قاعدة مسطحة دائرية الشكل، وجوانب مائلة تلتقي عند نقطة معينة تُعرف برأس المخروط، وهو رأس مدبب الشكل، وإذا كان رأس المخروط يقع على استقامة واحدة مع مركز قاعدته فإن المخروط في هذه الحالة يُعرف بالمخروط القائم (بالإنجليزية: Right Cone)، أما إذا كان رأسه لا يقع على استقامة واحدة مع مركز قاعدته فيُطلق عليه اسم المخروط المائل (بالإنجليزية: Oblique Cone)، ويتميز المخروط باحتوائه على وجه مسطّح واحد، وعدم احتوائه على زوايا أو حواف مستقيمة، وهناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالمخروط، ومنها:

• مساحة المخروط: وتتكون من قسمين:
  • مساحة قاعدة المخروط= π×نق²؛ حيث تمثل مساحة قاعدة المخروط مساحة الدائرة.
  • المساحة الجانبية للمخروط= π×نق×ل.
  • وبالتالي فإن المساحة الكلية للمخروط = π×نق² + π×نق×ل = π×نق×(نق+ل)؛ حيث:
    • نق: هو نصف قطر قاعدة المخروط
    • ل: هو طول المائل، أو الارتفاع الجانبي للمخروط، ويساوي: طول المائل: (ارتفاع المخروط²+نصف قطر قاعدة الخروط²)√.
    • π : ثابت عددي له قيمة تقريبية تساوي 3.14، أو 22/7.
• حجم المخروط= 1/3×π×نق²×ع، حيث:
  • ع: ارتفاع المخروط وهو العمود المقام بين مركز القاعدة الدائرية، ورأس المخروط.

لمزيد من المعلومات حول المخروط يمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف المخروط، قانون مساحة المخروط، قانون حساب حجم المخروط

الأسطوانة

الأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder) هو شكل ثلاثي الأبعاد، ويتكون من قاعدتين دائريتين، ترتبطان معاً بواسطة سطح منحنٍ، وتتميز الأسطوانة بعدم احتوائها على رؤوس أو زوايا، واحتوائها على ثلاثة وجوه تتمثّل بالقاعدتين الدائريتين مسطحتي الشكل، والوجه المنحني، وحافتين منحنيتين، وهناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالأسطوانة، وهي:

• مساحة سطح الأسطوانة الكلية= 2×π×نق×(ع+نق)، وتُقاس بالوحدات المربعة.
• المساحة الجانبية للأسطوانة: 2×π×نق×ع، وتُقاس بالوحدات المربعة.
• حجم الأسطوانة= π×نق²×ع، ويُقاس بالوحدات المكعبة؛ حيث:
  • نق: هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة الدائرية.
  • ع: هو ارتفاع الأسطوانة.
  • π : ثابت عددي له قيمة تقريبية تساوي 3.14، أو 22/7.

لمزيد من المعلومات حول الأسطوانة يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة وحجم الأسطوانة، كيفية حساب حجم الأسطوانة، قانون مساحة الإسطوانة، قانون المساحة الجانبية للأسطوانة.

الهرم

الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) هو شكل متعدد السطوح، وله قاعدة، وثلاثة وجوه جانبية، أو أكثر مثلثة الشكل، وتلتقي هذه الأوجه مشكّلةً رأس الهرم، ويمكن لأي نوع من المضلعات أن يشكّل قاعدة للهرم، التي تكون في أغلب الأحيان مربعة الشّكل، ومن الجدير بالذكر أنه إذا كانت قاعدة الهرم مُضلعاً منتظماً فإن المثلثات التي تمثّل أوجهه الجانبية تكون متطابقة؛ أي متساوية في الشكل، والحجم، ومتساوية الساقين، وهناك نوعان رئيسيان من الهرم، وهما:

• الهرم القائم: (بالإنجليزية: Right Pyramid) هو الهرم الذي يقع رأسه على استقامة واحدة مع مركز قاعدته.
• الهرم المائل: (بالإنجليزية: Oblique Pyramid) هو الهرم الذي لا يقع رأسه على استقامة واحدة مع مركز قاعدته، ولا تكون الأوجه مثلثة الشكل متطابقة.

وهناك أنواع عديدة للأهرامات، والتي تتم تسميتها بناءً على شكل قاعدتها، ومنها:

• الهرم الرباعي: هو الهرم الذي يتكون من قاعدة مربعة الشكل، وله 4 وجوه جانبية مثلثة الشكل، وقاعدة مربعة الشكل، و5 رؤوس، و8 أضلاع مستقيمة تشكل حواف الهرم.
• الهرم الثلاثي: هو الهرم الذي تكون قاعدته مثلثة الشكل، وله 4 رؤوس، و6 أضلاع تشكل حواف الهرم، و3 وجوه جانبية مثلثة الشكل.

هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالهرم، ومنها:

• مساحة سطح الهرم=مساحة القاعدة+(1/2)×محيط القاعدة ×الارتفاع الجانبي، وتُقاس بالوحدة المربعة.
• حجم الهرم=(1/3)×مساحة القاعدة×الارتفاع، ويُقاس بالوحدات المكعبة.

لمزيد من المعلومات حول الهرم يمكنك قراءة المقالات الآتية: بحث حول الهرم، مساحة سطح الهرم، ما هو عدد جهات الهرم.

المنشور

يمكن تعريف المنشور (بالإنجليزية: Prism) بأنه شكل ثلاثي الأبعاد يتكوّن من قاعدتين متطابقين، ومتوازيتين، وأوجه مستطيلة الشكل، ومن الأمثلة عليه المنشور الثلاثي الذي يتكون من 6 رؤوس، و9 أضلاع تشكل حواف المنشور، ومثلثين متطابقين في نهايته، و3 مستطيلات مسطّحة تمثّل أوجهه الجانبية، وبالتالي فهو يحتوي على خمسة وجوه، وهناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالمنشور، ومنها:

• مساحة سطح المنشور= (2×مساحة القاعدة) + (محيط القاعدة×ارتفاع المنشور).، وتجدر الإشارة إلى أنه تم ضرب مساحة القاعدة في 2 لوجود قاعدتين فيه
• حجم المنشور= مساحة القاعدة×الارتفاع.

يختلف شكل قاعدتي المنشور المتطابقتين، والمتوازيتين من منشور إلى آخر فقد تكون مربعاً، أو مستطيلاً، أو شكلاً خماسياً، أو سداسياً، أو غيرها من الأشكال الهندسية، وتتم تسمية المنشور عادة تبعاً لشكل قاعدتيه؛ فالمنشور الثلاثي يحتوي على قاعدتين مثلثيتين، والمنشور الخماسي يحتوي على قاعدتين خماسيتي الشكل، ومن الجدير بالذكر أن متوازي المستطيلات هو منشور يضم قاعدتين مستطيلتي الشكل، والمكعب هو منشور أيضاً يضم قاعدتين مربعتي الشكل.

ملخص لأهم المعلومات المتعلقة بالمجسمات الهندسية

الجداول الآتية توضح خصائص كل شكل هندسي: والقوانين المتعلقة بها:

أمثلة حسابية متنوعة حول المجسمات الهندسية

• المثال الأول: مخروط دائري قائم ارتفاعه 8 وحدات، ونصف قطره 6 وحدات، فما هو حجمه؟
  • الحل: حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع = (1/3)×πײ6×8، ومنه: حجم المخروط= 96π وحدة مكعبة.

• المثال الثاني: كرة نصف قطرها 5سم فما هي مساحة سطحها؟
  • الحل: مساحة سطح الكرة = 4×π×نق²= 4ײ5×3.14 = 314 سم² تقريباً

• المثال الثالث: ما هو حجم الهرم الرباعي الذي طول القاعدة فيه 10سم، وارتفاعه 18سم؟
  • الحل: حجم الهرم = (1/3)×مساحة القاعدة×الارتفاع
  • بما أن القاعدة مربعة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحتها كما يلي:
    • مساحة القاعدة = طول الضلع²= 10²= 100 سم².
  • بعد إيجاد مساحة القاعدة يمكن تطبيق قانون حجم الهرم كما يلي:
    • حجم الهرم = (1/3)×100×18= 600 سم³.

• المثال الرابع: إذا كان طول ضلع المكعب 10سم، فما هو حجم المكعب، ومساحة سطحه؟
  • الحل: حجم المكعب = طول الضلع³ = 10³= 1000 سم³.
  • مساحة سطح المكعب = 6 × طول الضلع² = 6 × (10)²= 600 سم²

• المثال الخامس: ما هو حجم المنشور الثلاثي الذي مساحة قاعدته 25م²، وارتفاعه 12م؟
  • الحل: حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع= 25×12 = 300م³.