books double angle law

قانون ضعف الزاوية

يرتبط مفهوم قانون ضعف الزاوية (بالإنجليزية: Double Angle) بالاقترانات المثلثية الثلاث، وهي الجيب، وجيب التمام، والظل، والتي هي عبارة عن علاقات تربط بين أضلاع المثلث قائم الزاوية بالنسبة لزواياه، ويجدر بالذكر أن ضعف الزاوية يعني ضرب قياس الزاوية بالعدد 2، أو مضاعفته، ولقانون ضعف الزاوية أشكال عدة هي:

• جا (2س)=2 جا(س) جتا(س)=2 ظا(س)/ (1+ظا²(س)).
• جتا (2س)=جتا²(س)-جا²(س)=2 جتا²(س)-1=1-2 جا²(س)=(1-ظا²(س))/(1+ظا²(س)).
• ظا (2س)=2 ظا(س)/ (1-ظا²(س)).

أمثلة على قانون ضعف الزاوية

أمثلة تطبيقية على قانون ضعف الزاوية

• المثال الأول: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة جا(س)=-3/5، جد قيمة جا(2س)،جتا(2س)، ظا(2س).
  • الحل:
    • من خلال تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس، ومعرفة حقيقة أن جيب التمام سالب القيمة في الربع الثالث، وأن الظل موجب القيمة ينتج أن جتا(س)=-4/5، ظا(س)=3/4.
    • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×-3/5×-4/5=24/25.
    • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-(2ײ(3/5))=0.28.
    • بتطبيق قانون ظا(2س)=2ظا(س)/(1-ظا²(س))=2×(3/4)/(1-²(3/4))=24/7.

• المثال الثاني: جد قيمة جا(2س) إذا كانت قيمة جتا(س)=4/5، والزاوية س في الربع الأول.
  • الحل:
    • بتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن جا(س)=3/5.
    • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) ينتج أن جا(2س)=2×(3/5)×(4/5)=24/25.

• المثال الثالث: إذا كانت س زاوية حادة، وكان جا(س)=0.6، جد قيمة جا(2س).
  • الحل:
    • تحويل قيمة جا(س) إلى كسر مكوّن من بسط ومقام، ليصبح جا(س)=6/10.
    • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن: جتا(س)=8/10.
    • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) لينتج أن جا(2س)=2×6/10×8/10=48/50=0.96.

• المثال الرابع: جد قيمة جا(2×ظا^-1 (3/4)).
  • الحل:
    • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)، لينتج أن جا(2×ظا^-1 (3/4))=2جا(ظا^-1 (3/4)جتا(ظا^-1 (3/4)).
    • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن: جتا(ظا^-1 (3/4))= 4/5، جا(ظا^-1(3/4))=3/5.
    • تعويض الأرقام في القانون أعلاه لينتج أن:
    • جا(2×ظا^-1 (3/4))=2×3/5×4/5=24/25.

• المثال الخامس: إذا كانت قيمة جا(س)=أ، جد قيمة جتا(2س).
  • الحل:
    • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-2أ².

• المثال السادس: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة ظا(س)=0.83، جد قيمة جتا(2س).
  • الحل:
    • بتطبيق قانون جتا(2س)=(1-ظا²(س))/(1+ظا²(س))=(1-0.83²)/(1+0.83²)=0.1842

• المثال السابع: جد قيمة جتا(2س) إذا كانت قيمة جا(س)=5/5√.
  • الحل: باستخدام قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)، ينتج أن: جتا (2س)=±(1-2(5/5√)²)=3/5±.

• المثال الثامن: إذا كانت قيمة قتا(س)=3/3√2، وكانت الزاوية س في الربع الأول، جد قيمة جا(2س)+جتا(2س).
  • الحل:
    • قتا(س)=3/3√2=1/جا(س)، ومنه جا(س)=3√3/2، وبتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن: جتا(س)=1/2.
    • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×(3√3/2)×(1/2)=3√3/2.
    • تطبيق قانون جتا(2س)=2جتا²(س)-1=2ײ(1/2)-1=1/2؛ وعليه جتا(2س)=-1/2؛ لأن ضعف الزاوية يقع في الربع الثاني، وعليه فهو سالب القيمة.
    • حساب قيمة جا(2س)+جتا(2س)=3√3/2+1/2-=3√2/(3√-3)

أمثلة إثبات على قانون ضعف الزاوية

• المثال الأول: أثبت أن (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=جتا(2س).
  • الحل: بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
    • (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=(1-(جا²(س)/جتا²(س))×(1/قا²(س)).
    • (1-(جا²(س)/جتا²(س))×جتا²(س)=جتا²(س)-جا²(س)=جتا(2س).

• المثال الثاني: أثبت أن 2قتا(2س)ظا(س)=قا²(س).
  • الحل: بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
    • 2قتا(2س)ظا(س)=2×(1/ (2جا(س)جتا(س)))×(جا(س)/جتا(س))=1/جتا²(س)=قا²(س).

• المثال الثالث: أثبت أن: قتا(2س)-ظتا(2س)=ظا(س).
  • الحل: بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
    • قتا(2س)-ظتا(2س)=1/جا(2س)-جتا(2س)/جا(2س)=(1-جتا(2س))/جا(2س).
    • تعويض جتا(2س)=(1-2جا²(س))، جا(2س)=2جا(س)جتا(س) في القيمة السابقة لينتج أن: قتا(2س)-ظتا(2س)=(1-(1-2جا²(س)))/2جا(س)جتا(س)=جا(س)/جتا(س)=ظا(س).