books circular groups
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
الزمر الدائرية (Info)
الزمرة الدائرية هي زمرة كل عناصرها هي قوى لعنصر ما . وباستخدام رموز الضرب، يُعبَر عن عناصر تلك الزمرة كالتالي:
حيث يعني ، و يعني ، إلى آخره. يسمى مثل العنصر مولِّدًا أو عنصرًا بدائيًّا للزمرة. وبرموز الجمع، يكون شرط كون العنصر بدائيًّا أن يكون كل عنصر في الزمرة قابلًا للكتابة على صورة
في الزمر المشروحة أعلاه، العنصر هو عنصر بدائي، ما يجعل تلك الزمر دائرية. يمكن التعبير عن كل عنصر في تلك الزمرة في شكل مجموعٍ كلُّ حدوده هي . وأي زمرة دائرية ذات العدد من العناصر هي مساوية الشكل لتلك الزمرة. وتعد زمرة جذور الوحدة العقدية من الدرجة n {displaystyle n} مثالًا آخر للزمر الدائرية، وهي معطاة بالأعداد العقدية التي تحقق المعادلة . ويمكن تصور تلك الأعداد رؤوسًا لمضلع منتظم ذي عدد من الأضلاع كالموضح بالأزرق في الصورة، والذي فيه . وعملية تلك الزمرة هي جداء الأعداد العقدية. وكما توضح الصورة، يقابل الضرب في دورانًا بزاوية 60° عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالاستعانة ببعض من نظرية الحقول (الرياضيات)، يمكن للزمرة أن تبدو دائرية: فمثلًا إذا كانت ، فإن مولد في تلك الزمرة؛ لأن ، و ، و ، و .
تملك بعض الزمر الدائرية عددًا غير منتهٍ من العناصر. ولكل عنصر غير مساو للصفر في تلك الزمرة، تكون كل قوى مختلفة عن بعضها البعض؛ وبالتالي فعلى الرغم من كون هكذا زمر "دائرية" إلا أنها لا تدور. وتكون أي زمرة دائرية غير منتهية مساوية الشكل لزمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع المشروحة أعلاه. وكل الزمر الدائرية أبيليةٌ كما رأينا في المثالين السابقين.
بلغت دراسة الزمر الأبيلية منتهية التوليد درجة كبيرة من النضوج، وهي تتضمن المبرهنة الأساسية للزمر الأبيلية منتهية التوليد، ويوجَد الكثير من المفاهيم المتعلقة بالزمر مثل المركز والمبادل تصف إلى أي مدى تكون زمرة ما غير أبيلية.
