books boolean algebra laws
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
قوانين الجبر البُولي (Info)
القانون في الجبر البولي هو عبارة عن متطابقة بين حدين بوليين، ويعرف الحد البولياني على أنه تعبير منطقي يتألف من متغيرات بوليانية والثوابت 0 و1، وعمليات الجبر البولياني (مثل الاتصال ∧، والانفصال ∨، والنفي ¬). ومثل الجبر العادي، فإن هناك 3 قوانين أساسية تحكم التعبيرات البوليانية: الإبدال والدمج والتوزيع.
قانون الإبدال لعملية الانفصال
يعرف قانون الإبدال لعملية الانفصال كما يلي:
حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).
ومعنى القانون هو أن ترتيب المتغيرات في عملية الانفصال (أو) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الجمع في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للجمع Commutative law of addition.
قانون الإبدال لعملية الاتصال
يعرف قانون الإبدال لعملية الاتصال كما يلي:
حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).
ومعنى القانون هو أن ترتيب المتغيرات في عملية الاتصال (و) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الضرب في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للضرب Commutative law of multiplication.
قانون الدمج لعملية الانفصال
يعرف قانون الدمج لعملية الانفصال كما يلي:
حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).
ومعنى القانون هو أنه عندما نقوم بتطبيق العملية (أو) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أو بشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتين يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الجمع في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للجمع Associative law of addition.
قانون الدمج لعملية الاتصال
يعرف قانون الدمج لعملية الاتصال كما يلي:
حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).
ومعنى القانون هو أنه عندما نقوم بتطبيق العملية (و) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أو بشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتين يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الضرب في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للضرب Associative law of multiplication.
قانون توزيع الاتصال على الانفصال
يعرف قانون التوزيع لعمية الاتصال (و) على عملية الانفصال (أو) كما يلي:
وهو يشابه قانون توزيع الضرب على الجمع في الجبر:
ولذلك يسمى القانون في الجبر البولياني بقانون توزيع الضرب على الجمع Distributive law of multiplication over addition.
قانون توزيع الانفصال على الاتصال
يعرف قانون التوزيع لعمية الانفصال (أو) على عملية الاتصال (و) كما يلي:
وهذا القانون ليس له قانون مماثل في الجبر العادي. ويمكن إثبات هذا القانون بطريقتين:
- بإيجاد جدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يمين المتطابقة، وجدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يسارها، ومطابقة الجدولين.
- باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال الموضح أعلاه. فبالنظر إلى الطرف الأيمن للمتطابقة، نجد أنه يمكننا توزيع على وذلك باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال:
بعد ذلك يمكن توزيع على وتوزيع على باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال ثانيةً:
ونلاحظ أن قيمة مكافئة لـ (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة مساوية للصفر، فإن قيمة تكون صفرا. وعندما تكون قيمتها مساوية للواحد، فإن قيمة القوس تساوي الواحد. وبالتالي يمكن استبدال بالمتغير مباشرة.
نلاحظ أيضاً أن قيمة مكافئة لـ (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة مساوية للصفر، فإن التعبير كله يكون مساوياً للصفر. وعندما تكون قيمة مساوية للواحد، فإن التعبير كله يكون مساويا للواحد بغض النظر عن قيمتي و . وبهذا يمكن استبدال بالمتغير مباشرة:
