كتب examples of similarity of triangles

• المثال الأول: مثلث أطوال أضلاعه هي: 2، 5، 12 سم، ومثلث آخر أطوال أضلاعه هي: 4، 10، 24 سم، هل هذان المثلثان متشابهان؟
  • الحل:
  • حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (2/4)=2، (5/10)=2، (24/12)=2، وبما أنها متساوية إذن فالمثلثان متشابهان وفق حالة تناسب جميع الأضلاع (SSS).

• المثال الثاني: مثلثان قائمان أطوال سيقانهم المتقابلة، هي: 7، 2 سم، و 10.5، 3 سم، هل هذان المثلثان متشابهان، وما هي النسبة بين أطوال أضلاعهم؟
  • الحل:
  • حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (10.5/7) هل تساوي (3/2)، بحساب كل منهما على حدة ينتج أن: 10.5/7=3/2=1.5، وبما أنها متساوية إذن فالمثلثان متشابهان، بتشابه ضلعين وزاوية محصورة بينهما (SAS).

• المثال الثالث: مثلثان متشابهان أطوال أضلاع الأول هي: 6، 7، 8 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني هي: أ، ب، 6.4 سم، ما هي أطوال أضلاع المثلث الثاني؟
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهان، فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (8/6.4)=1.25.
  • حساب طول الضلع (أ) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (6/أ)=1.25، ومنه أ=4.8 سم.
  • حساب طول الضلع (ب) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (7/ب)=1.25، ومنه ب=5.6 سم.

• المثال الرابع: مثلثان متشابهان أطوال أضلاع الأول هي: 4، 6، 7 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني هي: 3، ج، د سم، ما هو طول الضلع د؟
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهين فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (4/3)=1.3.
  • حساب طول الضلع (د) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (7/د)=1.3، ومنه د=5.25 سم.

• المثال الخامس: مثلثان الأول ∆أب هـ، والثاني ∆ج دهـ، يلتقيان في النقطة (هـ)، وكان ج د=1.5سم، دهـ=2سم، هـ ج=3سم، أهـ=5سم، وكان أب يوازي ج د، ما هو طول ب هـ؟
  • الحل:
  • بما أن أب يوازي ج د فيتكوّن زوج من الزوايا المتبادلة المتساوية في القياس، وهي: (أب هـ ⦣ = دج هـ⦣، ب أ هـ⦣= ج دهـ⦣)، والزاويتان (⦣ ب هـ أ،⦣ ج هـ د) متساويتان لأنهما متقابلتان بالرأس، بالتالي ينتج أن المثلثين متشابهان وفق حالة التشابه بالزوايا.
  • النسبة بين الأضلاع المتشابهة: (ب هـ/ هـ ج)=(أهـ/دهـ)، ومنه (ب هـ/3)=(5/2)، ومنه ينتج أن قيمة ب هـ=5×3/2=7.5 سم.

• المثال السادس: المثلثان ∆أد ي، ∆أب جـ، يشتركان في النقطة (أ)، إذا كان ب ج يوازي دي، ودهـ يصل بين الضلعين أد، أي، وكان أب=3سم، ب د=2سم، دي=10سم، أج=4.5سم، فما هو طول ب ج؟
  • الحل:
  • بما أن ب ج يوازي دي فيتكوّن زوج من الزوايا المتناظرة المتساوية في القياس كالآتي: (⦣ أب ج=⦣ أدي، ⦣ أج ب=⦣ أي د)، والزاويتان (⦣ ب أج،⦣دأي) متساويتان لأنهما نفس الزاوية، بالتالي ينتج أن المثلثين متشابهان وفق حالة التشابه بالزوايا.
  • النسبة بين الأضلاع المتشابهة: (ب ج/ دي)=(أب/أد)، ومنه (ب ج/10)=(3/(3+2))، ومنه ينتج أن قيمة ب ج=3×10/5=6 سم.

• المثال السابع: مثلث أطوال أضلاعه هي: 4، 2، 5 سم، ومثلث آخر أطوال أضلاعه المقابلة هي: 2.8، 1.4، 3.5 سم، هل هذان المثلثان متشابهان؟
  • الحل:
  • حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (2.8/4)=0.7، (1.4/2)=0.7، (3.5/5)=0.7، وبما أنها متساوية إذن المثلثان متشابهان.

• المثال الثامن: إذا كانت قياس الزاوية ت في المثلث س ت ر=25°، والزاوية ر=55°، وقياس الزاوية و في المثلث (وزي) 100°، والزاوية ز 25°، أثبت أن المثلين (س ت ر)، (وزي) متشابهان.
  • الحل:
    • لإثبات تشابه المثلثين يجب أولاً، حساب قياس الزاوية الثالثة لكل منهما، وذلك لإثبات تشابههما بتطابق ثلاث زوايا، وذلك كما يلي:
    • مجموع زوايا المثلث=180°، وعليه قياس الزاوية س في المثلث (س ت ر)= 180-(25+55)=100°.
    • مجموع زوايا المثلث=180°، وعليه قياس الزاوية ي في المثلث ( وزي)= 180-(25+100)=55°.
  • مما سبق يتبين أن قياسات زوايا المثلث (س ت ر) هي: 100، 55، 25، وقياسات زوايا المثلث (وزي)، هي: 100، 55، 25، وبالتالي هي متطابقة، والمثلثان متشابهان.

• المثال التاسع: أب ج مثلث قائم الزاوية في أ، إذا كان أد عمودياً على الوتر ب ج، كم عدد المثلثات المتشابهة في الشكل الناتج؟
  • الحل:
  • المثلثان ∆ أب ج، ∆ دب أ يمتلكان زاويتين متناظرتين ومتساويتين هما: الزاوية القائمة والزاوية ب المشتركة بينهما، فبالتالي المثلثان متشابهان بتطابق ثلاث زوايا.
  • المثلثان ∆ أب ج، ∆دأج يمتلكان زاويتين متناظرتين ومتساويتين هي الزاوية القائمة والزاوية ج المشتركة بينهما، فبالتالي المثلثان متشابهان بتطابق ثلاث زوايا.
  • وبذلك ينتج ثلاث مثلثات متشابهة هي: ∆ أب ج، ∆ دب أ، ∆ دأج.

• المثال العاشر: مثلثان قائمان متشابهان، إذا كان طول قاعدة الأول 6سم، وارتفاعه 9سم، وكان طول قاعدة الثاني 20سم، فما هو ارتفاع المثلث الثاني؟
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهين فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (20/6)=3.33.
  • حساب ارتفاع المثلث الثاني بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (ارتفاع المثلث الثاني/9)= 3.33، ومنه ارتفاع المثلث الثاني=30 سم.

• المثال الحادي عشر: عامودا إنارة في شارع مستقيم، ارتفاع الأول 36 قدم، وطول ظله في أحد أوقات النهار 9 أقدام، وطول ظل الثاني 6 أقدام في نفس الوقت من النهار، ما هو ارتفاع العامود الثاني؟
  • الحل:
  • بعد تمثيل المسألة يتضح أن العمودان يشكلان مع الشارع مثلثان، أضلاعم على النحو الآتي:
    • الضلع الأول هو عمود الإنارة، أما الضلع الثاني فهو ظل عمود الإنارة وهو يقع على طول الشارع تماماً، أما الضلع الثالث فهو الخط الواصل بين الطرف العلوي لعمود الإنارة، وطرف الظل من الأعلى.
  • المثلثان متشابهان لأنهما قائما الزاوية، وهي الزاوية المحصورة بين العمود والشارع، أما الزاوية المحصورة بين الضلعين الثاني والثالث فهي متساوية في كليهما بما أن الظل تم قياسه في نفس الوقت من النهار، وبالتالي النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (9/6)=1.5.
  • حساب ارتفاع العامود الثاني بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (36/ارتفاع العمود الثاني)= 1.5، ومنه ارتفاع المثلث الثاني=24 قدم.

• المثال الثامن: مثلثان متشابهان طول ضلعين من أضلاع المثلث الأول هي: 1.8، 8 سم، وطول ضلعين من أطوال أضلاع المثلث الثاني هي: س، 3 سم، ما هو طول الضلع س؟
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهان فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (8/3)=2.67.
  • حساب طول الضلع (س) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (1.8/س)=2.67، ومنه س=4.8 سم.

لمزيد من المعلومات عن قوانين المثلثات يُمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.
لمزيد من المعلومات عن زوايا المثلث يُمكنك قراءة المقال الآتي: حساب زوايا المثلث.