books the solution in planar geometry
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
الحل في الهندسة المستوية (Info)
غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:
وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع هو ومُحيطُ الدائرةِ هو بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان .
وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من متباينة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز.
لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:
تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط هي على الأقل لكل منحنى.
بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي:
إذا كان منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:
حيث أن ترمز إلى طول والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان منحنى ثابت العرض.
