التناظر في الدائرة
في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ
. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة (
) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1. في الدائرة ذات المركز
والوتر
، المثلث
متطابق الضلعين. إذا كانت
نقطة منتصف
فإنَّ
من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ
وكذلك
. أيضاً الزاويتان
. إذا كانت
نقطتا تقاطعِ المستقيمِ
مع الدائرة، فإنَّ من تطابق
(SSS) والذي يُنتج
. كنتيجة، القوسان
متطابقان أيضاً. بالمثل،
(من تطابق SAS) و
. وهذا يعني أن الدائرةَ
ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر
. إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة. إذا كانت
تقاطع مماسات الدائرة عند
، فمن مبرهنة فيثاغورس،
. مما يعني أنَّ
. بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ
، إذن، الزاوية
، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ
تقع على المنصف العمودي لـ
. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة
في
فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً. تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:
مركز القوة
لتكن
دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية. وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين
مع محور الأساسي الدائرتين
في نقطة
فإنَّ المماسات المنطلقة من
لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ:
وأيضاً
فبالتعدّي، يُصبح
وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة
تقعُ على خط القوة للدائرتين
وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة
. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة
مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.
Source: wikipedia.org