books matrix arithmetic
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
حساب المصفوفات (Info)
في الرياضيات, يكون حسبان المصفوفات (بالإنجليزية: matrix calculus) عبارة عن ترميز متخصص للقيام بحسبان متعدد المتغيرات, وخصوصاً على فراغات المصفوفات, حيث تعرف أيضاً باسم تفاضل المصفوفات (بالإنجليزية: matrix derivative). هذا النوع من الترميز مناسب تماماً لوصف أنظمة المعادلات التفاضلية, وأيضاً لأخذ تفاضلات الدوال ذو القيم المصفوفية وذلك بالنسبة إلى المتغيرات المصفوفية. يُستعمل ذا الترميز عادةً في الإحصاء وفي الهندسة, بينما يُفضل استعمال ترميز مؤشر التينسور Tensor index notation في الفيزياء.
ملاحظة
تستعمل هذه المقالة تعريف آخر لحسبان المصفوفات والمتجهات عما هو موجود غالباً ضمن نظرية المقدرات وتمييز الأنماط. لذلك تظهر المعادلات الناتجة منقولةً مقارنةً بتلك المعادلات التي تُستعمل في الكتب الدراسية ضمن تلك الحقول.
الترميز
فلتكن M(n,m) هو فضاء المصفوفات n×m ذو الأعداد الحقيقية مع n صف وm عمود، يُشار إلى المصفوفات عادةً باستعمال حرف لاتيني كبير بخط عليظ مثل: A, وX, وY, إلخ. يُشار عادةً إلى عنصر M(n,1), التي تسمى بمتجه عمودي column vector, بحرف لاتيني صغير بخط عليظ مثل: a, وx, وy, إلخ. يُشار إلى العنصر M(1,1)، التي تعتبر كمية قيلسية، بحرف لاتيني صغير بخط مائل مثل: a, وt, وx, إلخ. كما يُشار XT إلى نقل المصفوفات، و tr(X) إلى الاقتفاء, و det(X) إلى المحددة. يُفترض بأن تكون جميع الدوال من صنف قابلية المفاضلة differentiability class C1 ما لم يذكر خلاف ذلك. على العموم، تُستخدم نصف الحروف الأولى الأبجدية اللاتينية (a, b, c, …) للإشارة إلى الثوابت، وتُستخدم نصف الحروف الثانية (t, x, y, …) للإشارة إلى المتغيرات.
حسبان المتجهات
بدائل
تُعتبر ترميز مؤشر التنسور وتجميع أينشتاين متشابهتين جداً لحسبان المصفوفات، عدا إنها تكتب مركبة واحدة فقط في كل مرة. وتُعتبر هذه إجابية حيث يمكن للمرء يأن يتلاعب بالتنسورات عالية الرتبة اعتباطياً, بينما أن التنسورات ذا الرتبة الأعلى-من-أثنين صعب التلاعب بها بواسطة ترميز المصفوفات. لاحظ بأن المصفوفة يمكن أن تُعتبر تنسوراً بالرتبة الثانية.
