books formal definition and basic characteristics
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
التعريف الرسمي والخصائص الأساسية (Info)
تعريف
يُسمى متتاليةً عدديّةً كل تطبيق منطلقه مجموعة الأعداد الطبيعية و مستقره حقل . نرمز عادة إلى المتتالية بالرمز أو عوضاََ عن:
تعريف متتالية من خلال الاستدعاء الذاتي ( تعريف التدرجي ) :
حيث يكون كل حد في المتتالية متعلقاً بالحد أو الحدود التي قبله، كأن يكون كل حد هو مجموع الحدين الذين قبله
مثال :مهما يكن نعرف المتتالية كما يلي :
تعريف متتالية دالة :
مثال :
متتالية عددية حقيقية لانهائية محدودة
نقول عن المتتالية محدودة إذا كانت محدودة في أي : مهما كان يكون :
أو : من أجل كل و عدد حقيقي موجب.
أي أن مجموعة قيم أي متتالية عددية حقيقية لا نهائية تكون مجموعة اما منتهية و غير خالية أو غير منتهية و تكون إما محدودة أو غير محدودة .
ونقول انها محدودة من الأعلى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأعلى و نقول أنها محدودة من الأدنى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأدنى .
و نقول ان المتتالية ما محدودة لما تكون مجموعة قيمها محدودة من الأعلى و الأدنى في اَن واحد.
المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية
قد تكون متتالية ما حسابيةً إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثاً، وتكون هندسيةً إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة. وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).
المتتاليات المطردة
نقول عن المتتالية العددية إنها متتالية مطردة إذا كانت إما متتالية تصاعدية أو تنازلية أو تصاعدية تماما أو تنازلية تماما .
متتالية تصاعدية ومتتالية تنازلية
يقال عن متتالية ما أنها تصاعدية إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تصاعدية تماماً إذا كان كل حد أكبر تماماً من الحد الذي يسبقه. ويقال عن متتالية ما أنها تنازلية إذا كان كل حد أصغر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تنازلية تماماً إذا كان كل حد أصغر تماماً من الحد الذي يسبقه.
بالتعبير الرياضي :
نقول أن المتتالية العددية أنها :
- تصاعدية إذا كان من أجل كل
- تنازلية إذا كان من اجل كل
- تصاعدية تماما إذا كان من اجل كل
- تنازلية تماما إذا كان من اجل كل
المتتاليات الجزيئة
المتتالية الجزئية لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، بعد حذف بعض العناصر منها، دون تغير الترتيب النسبي الذي جاءت فيه العناصر غير المحذوفة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6، ... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 2، 4، 6، 8.... (في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية).
لتكن لدينا المتتالية العددية ولنختر من بين حدودها حدََا نرمز له بالرمز ثم نحذف من هذه المتتالية الحدود فتبقى لدينا الحدود , ومن الحدود المتبقية نختار الحدََا نرمز له بـ ونكرر نفس عملية الحذف وهكذا حتى نحصل على المتتالية الجديدة : , تدعى هذه المتتالية بالمتتالية الجزئية من المتتالية و يكون الحد العام للمتتالية الجزئية هو و نلفت النظر ان رقم الحد يتعين بواسطة وليس .
وننوه أن : من أجل كل وهذا يعني انه من اجل كل يكون الحد إما يساوي الحد أو يساوي أحد الحدود التي تلي الحد , ويمكن البرهان على هذا بالاستقراء :فمن أجل تكون القضية صحيحة لان الحد هو إما أو احد الحدود التي تلي في المتتالية و لنفرض أن المتباينة صحيحة من اجل عندئذ نجد أن : وبهذا قد أثبتنا المطلوب .
أنواع أخرى من المتتاليات
تُدعى متتالية ما جدائية إذا كان حينما يكون x و y أوليين فيما بينهما. متتالية موبيوس مثال على ذلك.
انظر إلى مجموعة مرتبة جزئيا وإلى دالة رتيبة.
