books basic theorems of convergence
If you do not find what you're looking for, you can use more accurate words.
مبرهنات اساسية حول التقارب (Info)
المبرهة الأولى : وحدانية نهاية متتالية
إذا كانت المتتالية العددية متقاربة من العدد و من العدد فإن .
الاثبات : ليكن عندئذ ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر و بحيث يكون :
ومنه يوجد عدد الطبيعي بحيث يكون :
وبهذا قد برهن على القضية الصحيحة الاتية :
ومنه يمكن استنتاج أن كما يلي :
لو كان لكان وبالتالي لكان يوجد عدد بحيث يكون عندما وهذا غير ممكن اذن وهو المطلوب .
المبرهة الثانية : كل متتالية متقاربة محدودةٌ
كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة .
الاثبات : لتكن المتتالية متقاربة و لنفرض انها متقاربة نحو عندئذ يوجد من اجل كل العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي يختلف عن الصفر بحيث يكون :
ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب : بحيث يكون من أجل كل :
ومنه : وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية محدودة وبالتالي فالمتتالية محدودة .
ليس من الضروري ان كل متتالية عددية محدودة تكون متقاربة .
المبرهنة الثالثة : إزاحة حدود متتالية
لتكن المتتالية العددية ليكن و لنفرض أنه من اجل كل يكون و لنأخذ المتتالية العددية عنذئذ :
- المتتالية متقاربة من المتتالية متقاربة من .
- المتتالية متباعدة لمتتالية متباعدة .
الاثبات
1) لتكن متتالية متقاربة من وليكن عندئذ يوجد بحيث أن :
ثم نفرض أن عندئذ يكون :
وحسب تعريف يمكن القول أنه يوجد عدد طبيعي بحيث يكون :
اذن وهذا يعني أن متقاربة من .
وبالعكس نفرض أن متتالية متقاربة من وليكن عندئذ يوجد بحيث يكون :
وحسب تعريف يمكن ايجاد عدد طبيعي بحيث يكون :
اذن وهذا يعني أن متقاربة من .
2) لتكن متباعدة و لنفرض أن متقاربة و عندئذ و حسب (1) تكون وهذا مستحيل و منه متباعدة .
وبالعكس لتكن متباعدة و لنفرض أن أنها متقاربة و حسب (1) تكون وهذا مستحيل اذن متباعدة .
المبرهنة الرابعة : تقارب المتتاليات الجزئية
تكون المتتالية العددية متقاربة من إذا وفقط إذا كانت كل متتالية جزئية منها متقاربة من .
الاثبات : اولا نفرض أن كل متتالية جزئية من المتتالية متقاربة من عندئذ تكون المتتالية متقاربة من لانها متتالية جزئية من نفسها .
ثانيا لنفرض أن المتتالية متقاربة من ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن ثم نأخذ عندئذ يوجد بحيث يكون : لما كان من أجل كل فإن الحد إما أن يساوي أو يكون يكون واقعا على يمين الحد في المتتالية و منه يكون : إذن المتتالية الجزئية متقاربة من . وبهذا قد أثبتنا المطلوب .
