كتب معادلة الخط المستقيم

تُعرف معادلة الخط المستقيم (بالإنجليزية: Straight Line Equation) بالمعادلة الخطية، وتعتبر من المعادلات الرياضية الأساسية التي تستخدم بشكل كبير سواء في علم الرياضيات، أو العلوم الأخرى؛ ففي علم الرياضيات يتم عادة تحويل المعادلات الرياضية غير الخطية التي يصعب فهمها إلى معادلات خطية حتى يصبح من السهل فهمها، والتعامل معها، وتصف المعادلة الخطية بشكل عام العلاقة بين المتغيرين س، وص؛ بحيث ينطبق ذلك على جميع النقاط الواقعة على الخط المستقيم، والصورة العامة لها هي:

• أس+ب ص+جـ = 0، حيث إن: أ، ب، جـ هي قيم ثابتة.

أشكال معادلة الخط المستقيم

هناك عدة أشكال لمعادلة الخط المستقيم بيانها على النحو الآتي:

• المعادلة التي تمثل العلاقة بين الميل، والإحداثي الصادي، وهي:
  • ص = م س+ب، حيث:
    • م: هو ميل الخط المستقيم، ويساوي ظاα؛ حيث α: هي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم، ومحور السينات الموجب.
    • ب: هو المقطع الصادي وهو قيمة ص عندما س تساوي صفر، أي عندما يقطع الخط المستقيم محور الصادات.

• معادلة الخط المستقيم الموازي لمحور السينات: هو الخط المستقيم الذي يكون أفقياً بحيث يقطع محور الصادات، ويوازي محور السينات ولا يقطعه أبداً، ومعادلته هي:
  • ص = ب؛ حيث:
    • ب: هي النقطة التي يقطع عندها المستقيم محور الصادات.

• معادلة الخط المستقيم الموازي لمحور الصادات: هو الخط المستقيم الذي يكون عمودياً بحيث يقطع محور السينات، ويوازي محور الصادات ولا يقطعه أبداً، ومعادلته هي:
  • س = أ؛ حيث:
    • أ هي النقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم محور السينات.

• معادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل: معادلة الخط المستقيم هي: ص= م س+ب كما ذُكر سابقاً؛ وعند مرور الخط المستقيم بنقطة الأصل فإن قيمة ب تكون مساوية لصفر؛ لأن الخط المستقيم لا يقطع محور الصادات أبداً، وبالتالي فإن معادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل هي:
  • ص =م س؛ حيث:
    • م: هو ميل الخط المستقيم، وكلما كانت قيمة الميل أكبر فإن الخط المستقيم يكون أقرب إلى محور الصادات، وكلما كانت أقل فإنه يكون أقرب إلى محور السينات.

• مثال: مستقيم مار بنقطة الأصل ومعادلته ص= 4س؛ فهذا يعني أن قيمة ص تساوي أربعة أضعاف قيمة س، فمثلاً إذا كانت قيمة س= 3، فإن قيمة ص= 4×3= 12، وبالتالي فإن النقطة (12،3) تقع عليه، والأمر نفسه ينطبق على جميع النقاط الواقعة عليه، وميل هذا المستقيم هو 4.

لمزيد من المعلومات حول معادلة الخط المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هي معادلة الخط المستقيم.

كتابة معادلة الخط المستقيم

يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم بعدة طرق بناء على المعلومات المُعطاة عن الخط المستقيم، وذلك كما يلي:

• معادلة الخط المستقيم الذي يعرف ميله، ونقطة واقعة عليه:
  • ص = ص1+ م×(س-س1)، حيث:
    • م: هو ميل الخط المستقيم
    • (س1، ص1): هي نقطة تقع على الخط المستقيم.

• معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين، وهي:
  • (ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)، حيث:
    • (س1، ص1)، و(س2، ص2) هما نقطتان تقعان على الخط المستقيم المراد إيجاد ميله.

وقد تم اشتقاق المعادلة السابقة من معادلة الخط المستقيم الذي يُعرف ميله، ونقطة واقعة عليه، وذلك كما يلي:

• ص-ص1 = م×(س - س1)، وبما أن الميل (م) = ص2 - ص1/س2 - س1، وبتعويض هذه القيمة للميل في المعادلة، ينتج أن:
  • ص-ص1 = [(ص2-ص1) / (س2-س1)] × (س-س1)، وبترتيب المعادلة ينتج أن:
  • (ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)

• مثال: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (1، -2)، و(-3، 0)؟
  • الحل:
    • معادلة الخط المستقيم: (ص-ص1)/(ص2-ص1) = (س-س1) / (س2-س1)، وبالتعويض في هذه المعادلة فإن:
    • (ص-(-2)) / (0-(-2)) = (س-1) / (-3-1)، ومنه: (ص+2)/2 = (س-1) /-4، وبضرب الطرفين بـ (2) ينتج أن: ص+2 = (س-1)/-2، وبضرب الطرفين بـ (-2) ينتج أن:
    • -2ص-4 = س-1، وبجمع (4) للطرفين: -2ص = س+3، وبقسمة المعادلة على (-2) ينتج أن معادلة الخط المستقيم:
    • ص = -(1/2)س - (3/2).