كتب the laws of astrodynamics

القوانين الأساسية للديناميكا الفلكية هي قانون الجذب العام وقوانين نيوتن للحركة، أما الأداة الرياضية الأساسية فهي حساب التفاضل والتكامل.

جميع المدارات والمسارات الواقعة خارج الأغلفة الجوية هي في مجال معاكس بشكل أساسي، أي يكون الزمن معكوسًا في دالة الزمكان. كما تنعكس السرعات ولكن يظل التسريع كما هو، بما في ذلك تلك التي تحدث نظرًا لانفجار الصواريخ. وبالتالي، فإنه إذا انفجر الصاروخ في اتجاه السرعة، فإنه في الحالة العكسية يكون مقابلاً للسرعة. وبالطبع، فإنه في حالة انفجار الصاروخ، فلن يكون هناك انعكاس كامل للأحداث، ففي كلتا الحالتين يتم استخدام دلتا-v نفسها وتنطبق نفس نسبة الكتلة.

تشمل الافتراضات القياسية في الديناميكا الفلكية عدم التدخل من خارج الأجسام والكتلة المهملة لأحد الأجسام والقوى الأخرى المهملة (مثل تلك القادمة من الرياح الشمسية وسحب الغلاف الجوي، إلخ.). ويمكن إجراء حسابات أكثر دقة بدون هذه الافتراضات المبسطة، لكنها أكثر تعقيدًا. فالدقة المتزايدة غالبًا لا تخلق فارقًا كافيًا في الحساب ليكون جديرًا بالاهتمام.

قد تكون قوانين كبلر لحركة الكواكب مشتقة من قوانين نيوتن، عندما يتم الافتراض أن الجسم المداري معرض فقط لقوة الجاذبية للجاذب المركزي وعندما تكون قوة دفع المحرك أو القوة الدافعة موجودة، فإنه لا يزال من الممكن تطبيق قوانين نيوتن، لكن تبطل قوانين كيبلر. وعندما يتوقف الدفع، فإن المدار الناتج عن ذلك سيكون مختلفًا، لكنه سيتم وصفه مرة أخرى من خلال قوانين كيبلر. القوانين الثلاثة هي:

1. المدار الخاص بكل كوكب هو عبارة عن قطع ناقص والشمس في احدى بؤرتيه.
2. الخط الذي يصل الكوكب بالشمس يغطي مناطق متساوية في فترات متساوية من الزمن.
3. مربع الدورة المدارية للكوكب تتناسب مع تكعيب المحور شبه الرئيسي للمدار.

سرعة الهروب

تم اشتقاق الصيغة الخاصة بسرعة الهروب كما يلي. الطاقة المحددة (الطاقة لكل كتلة وحدة) لأي مركبة فضائية تتكون من مكونين، طاقة الجهد المحددة والطاقة الحركية المحددة. ترتبط طاقة الجهد المحددة بالكوكب ذي الكتلة M معطاة كالآتي:

بينما تُعطى الطاقة الحركية المحددة للكائن كالآتي

وبما أنه يتم حفظ الطاقة، فإن إجمالي الطاقة المدارية المحددة

لا يعتمد على المسافة ، من مركز الجسم المركزي إلى مركبة الفضاء المقصودة. وبالتالي فإن الكائن يمكن أن يصل إلى لا نهائية فقط إذا كانت هذه الكمية غير سالبة، مما يعني أن

سرعة الهروب من سطح الأرض تساوي 11  km/s، لكن هذا ليس كافيًا لإرسال الجسم إلى مسافة لا نهائية نظرًا لجاذبية الشمس. ويتطلب الهروب من النظام الشمسي من موقع على مسافة من الشمس تساوي المسافة بين الشمس والأرض، ولكن ليس قريبًا من الأرض، سرعة تساوي 42 km/s تقريبًا، لكنه سوف يكون هناك "تصديق جزئي" على السرعة المدارية للأرض بالنسبة للمركبة الفضائية التي تم إطلاقها من الأرض، إذا كان هناك المزيد من السرعة (نظرًا لنظام الدفع) التي تحملها في نفس الاتجاه حيث تتحرك الأرض في مدارها.

صيغة المدارات الحرة

المداراتعبارة عن أقسام مخروطية، لذلك، فإنه بطبيعة الحال تتوافق الصيغ الخاصة بمسافة الجسم لزاوية معينة مع صيغة هذا المنحنى في الإحداثيات القطبيةوهي:

حيث تشير μ إلى عامل الجاذبية, وG إلى ثابت الجاذبية, وm₁ وm₂ هي كتل الأجسام 1 و2 وh هو الزخم الزاوي المحدد للجسم 2 فيما يتعلق بالجسم 1. أما العامل θ فيُعرف بالانحراف الحقيقي وp هو المستقيم شبه العريض, أما e فهو الانحراف المداري، ويمكن الحصول على جميعها من الأشكال المختلفة للعناصر المدارية الستة المستقلة.

المدارت الدائرية

جميع المدارات المحدودة حيث تكون مهيمنات الجاذبية لجسم مركزي بيضاوية في طبيعتها. والحالة الخاصة من هذا هي المدار الدائري، وهو عبارة عن شكل بيضاوي ذي انحراف يساوي صفرًا. صيغة سرعة جسم في مدار دائري عند المسافة r من مركز الجاذبية التي تحمل جاذبية كتلة M هي

حيث إن هي ثابت الجاذبية، ويساوي

6.672 598 × 10⁻¹¹ m³/(كغم²)

لاستخدام هذه الصيغة بشكل صحيح، يجب أن تكون الوحدات متناسقة، على سبيل المثال، يجب أن تكون M بالكيلو جرامات وr بالأمتار. ستكون الإجابة بالأمتار في الثانية.

غالبًا ما يُطلق على GM اسم عامل الجاذبية القياسي، الذي يحمل قيمة مختلفة لكل كوكب أو قمر في النظام الشمسي.

وبمجرد التعرف على سرعة المدار الدائري، يمكن التعرف بسهولة على سرعة الهروب عن طريق الضرب في الجذر التربيعي لـ 2:

المدارات البيضاوية

إذا كان ، فإن مقام المعادلة الخاصة بالمدارات الحرة يختلف مع الانحراف θ، ولكنه يظل موجبًا ولا يصبح صفرًا. لذا، فإن متجه الوضع النسبي يظل مقيدًا، مع وجود أقل جرم له عند النقطة الأقرب للمدار ، وهذا يتضح من خلال:

يتم الوصول إلى أقصى قيمة لـ r عندما تكون θ = 180، ويُطلق على هذه النقطة نقطة المدار الأبعد وإحداثياته القطرية والتي يُشار إليها بـ r_a، هي

نفترض أن 2a هي المسافة المقيسة على طول خط القياس من النقطة الأقرب للمدار P إلى النقطة الأبعد للمدار A، كما هو موضح في المعادلة أدناه:

ومع استبدال المعادلات أعلاه، نحصل على:

حيث إن a هي المحور شبه الأساسي للشكل البيضاوي. وبعد الحل للحصول على r، نحصل على:

الفترة المدارية

في ظل الافتراضات القياسيةفإنه يمكن حساب الفترة المدارية ( ) للجسم المسافر على طول مدار بيضاوي هي:

حيث إن:

• هو عامل الجاذبية القياسي،
• هو طول المحور شبه الأساسي.

الاستنتاجات:

• الفترة المدارية تساوي تلك الخاصة بالمدار الدائري حيث يساوي القطر المداري المحور شبه الأساسي ( ),
• وبالنسبة لمحور شبه أساسي محدد، فإن الفترة المدارية لا تعتمد على الانحراف (انظر أيضًا: قانون كيبلر الثالث).

السرعة

في ظل الافتراضات القياسية فإنه يمكن حساب السرعة المدارية ( ) للجسم المسافر على طول مدار بيضاوي من معادلة حفظ الطاقة المدارية كالتالي:

حيث إن:

• هو عامل الجاذبية القياسي،
• هو المسافة بين الأجسام المدارية.
• هو طول المحور شبه الأساسي.

فإن معادلة السرعة للمسار القطعي تكون إما + ، أو تكون هي نفسها مع التقليد في هذه الحالة a يكون سالبًا.

الطاقة

في ظل الافتراضات القياسية، فإن الطاقة المدارية المحددة ( ) للمدار البيضاوي سالبة ومعادلة تحويل الطاقة المدارية معادلة تحويل الطاقة المدارية) لهذا المدار من الممكن أن تأخذ شكل:

حيث إن:

• هو السرعة المدارية للجسم المداري،
• هو مسافة الجسم المداري من الجسم المركزي،
• هو طول المحور شبه الأساسي.
• هو عامل الجاذبية القياسي،

الاستنتاجات:

• بالنسبة لمحور شبه أساسي محدد، فإن الطاقة المدارية المحددة تكون مستقلة عن الانحراف.

وباستخدام نظرية فيريال نجد أن:

• متوسط الوقت لطاقة جهد محددة يساوي 2ε
  • متوسط الوقت لـ r⁻¹ هو a⁻¹
• متوسط الوقت للطاقة الحركية المحددة يساوي -ε.

المدارات المكافئة

إذا كان الانحراف يساوي 1، تصبح المعادلة المدارية:

حيث إن:

• هي المسافة القطرية بين الجسم المداري والجسم المركزي،
• هو الزخم الزاوي المحدد الخاص بالجسم المداري،
• هو الانحراف الحقيقي للجسم المداري،
• هو عامل الجاذبية القياسي،

بما أن الانحراف الحقيقي θ يقترب من 180°، فإن المقام يقترب من الصفر، وبالتالي تميل r نحو اللانهاية. وبالتالي، فإن طاقة المسار التي يكون فيهاe=1 تكون صفرًا، ويتم التعبير عنها كالتالي:

حيث إن:

• هو السرعة المدارية للجسم المداري،

بمعنى آخر، السرعة المدارية في أي مكان من المسار المكافئ هي:

المدارات القطعية

إذا كانe>1، فإن الصيغة المدارية،

تصف هندسة المدار القطعي. ويتكون النظام من منحنيين متماثلين، حيث يحتل الجسم المداري أحدهما. أما الآخر فهو الصورة الرياضية الفارغة له. من الواضح أن المقام في المعادلة المذكورة أعلاه يكون صفرًا عندما يكون cosθ = -1/e. ونحن نشير إلى هذه القيمة من الانحراف الحقيقي

θ_∞ = (cos^-1)-1/e

وحيث إن المسافة القطرية تقترب من اللا نهاية كلما يقترب الانحراف الحقيقي من θ_∞. فإن θ_∞ يُعرف بأنه الانحراف الحقيقي للخط المتقارب. ويمكنك الملاحظة أن θ_∞ يقع بين 90° و180°. من هوية علم حساب المثلثات ²θ+cos²θ=1، فإنه يترتب على ذلك أن:

sinθ_∞ = (e²-1)^1/2/e

الطاقة

في ظل الافتراضات القياسية، فإن الطاقة المدارية المحددة ( ) للمسار القطعي أكبر من صفر ومعادلة تحويل الطاقة المدارية لهذا النوع من المسارات تأخذ شكل:

حيث إن:

• هو السرعة المدارية للجسم المداري،
• هو المسافة القطرية بين الجسم المداري والجسم المركزي،
• هو طول المحور شبه الأساسي،
• هو عامل الجاذبية القياسي،

السرعة القطعية الزائدة

في ظل الافتراضات القياسية، فإن الجسم المسافر على طول المسار القطعي سوف يحقق بشكل لا منتهٍ سرعة مدارية يُطلق عليها السرعة القطعية الزائدة ( ) والتي يمكن حسابها كالتالي:

حيث إن:

• هو عامل الجاذبية القياسي،
• هو المحور السالب شبه الأساسي للمقطع الخاص بـ المحور.

وتتعلق السرعة القطيعة الزائدة بالطاقة المدارية المحددة أو الطاقة المميزة من خلال