كتب how to solve a cubic equation

نظريّة المعامل والقسمة التركيبيّة

تملك جميع المعادلات التكعيبية جذراً حقيقياً واحداً، أو ثلاثة جذور حقيقية، وتُستخدم نظريّة المعامل والقسمة التركيبيّة كأسهل طريقة لحل المعادلات التكعيبيّة، وهي تتطلّب التخمين وبعض العمليات الحسابيّة، وذلك على النحو الآتي:

• كتابة المُعادلة التكعيبيّة على الصورة القياسيّة.
• إيجاد أحد الجذور للمعادلة التكعيبية بطريقة التخمين، عن طريق كتابة مجموعة من الأعداد المقترحة، ثمّ تعويضها في المعادلة التكعيبية مكان س، والعدد الذي يجعل المُعادلة مساوية للصفر، يعتبر أحد جذورها، ولنفترض أنه (ل)؛ حيث: أ (ل)³+ب×(ل)²+ج×(ل)+د= ، ويكون هذا الجذر عادة أحد معاملات العدد د وهو ثابت المعادلة (أي الأعداد التي يساوي ناتج قسمة العدد (د) عليها القيمة صفر) وذلك إذا كانت قيمة أ=1 فقط.
• كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س-ل)(س²+أس+ب)؛ حيثُ يُمثّل ل العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السّابقة، وبالتالي الحدّ (س-ل) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و تُمثّل س= ل أحد الحلول للمعادلة.
• إيجاد الحدّ (س²+أس+ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س-ل) كما يلي:
  • تُكتب مُعاملات المُعادلة التكعيبيّة على الصفّ الأول، ثمّ يوضع خط عموديّ فاصل على يسارها، بعدها يُكتب س=- ل، ويُترك سطر فارغ أسفل المُعاملات ثمّ يُوضع خط أفقيّ كما هو موضّح في الأسفل:

أ ب ج د | س= ل

ـــ ــــ ـــ ـــ |

------------------------------

ـــ ــــ ـــ ـــ |

• فإذا افترضنا أنّ المُعادلة التكعيبيّة كما يلي: س³-5 س²-2 س+24=0، وكان (س+2) أحد عوامل المُعادلة، فإنّ القسمة التركيبيّة تتمّ على النحو الآتي:

1 -5 -2 24| س= -2

ـــ ـــــ ـــــ ـــــ |

------------------------------

ـــ ـــــ ـــــ ـــــ |

• كتابة الرقم (1) تحت الخط الأفقي، وهو أول رقم من اليمين، ثمّ ضربه في (-2) لينتج أنّ: 1×-2=-2، وتُكتب النتيجة أسفل -5 كما يلي:

1 -5 -2 24| س= -2

ـــ -2 ـــــ ـــــ |

------------------------------

1 ـــــ ـــــ ـــــ |

• ثمّ إيجاد حاصل جمع -5 و -2 وتُكتب النتيجة تحت الخط الأفقي كما يلي:

1 -5 -2 24| س= -2

ــــ -2 ــــ ــــ |

------------------------------

1 -7 ــــ ـــــ |

• تُكرر العمليّة السابقة بالنسبة للرقم (-7)؛ حيثُ يُضرب بالرقم (-2)، وتوضع النتيجة بالسطر الثاني تحت -2 ثمّ يُجمع العددان وتوضع النتيجة تحت الخطّ الأفقيّ كما يلي:

1 -5 -2 24| س= -2

ـــ -2 ـــــ ـــــ |

------------------------------

1 -7 ـــــ ـــــ |

• ثمّ تكرر العمليّة إلى أن يظهر الرقم صفر في آخر خانة من الأعداد الموجودة تحت الخط الأفقي، والذي يدلّ ظهوره على أنّ الحل صحيح على النحو الآتي:

1 -5 -2 24 | س= -2

ــ -2 14 -24 |

------------------------------

1 -7 12 0 |

• يُمثّل الصفّ السفلي الموجود تحت الخط الأفقي عوامل المعادلة التربيعيّة (س²+أس+ب) المضروبة بالعامل (س+ل): فبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة س³-5 س²-2 س+24=0 على النحو الآتي: (س²-7س+12)(س+2)=0.
• تحليل المُعادلة التربيعيّة لينتج أنّ: (س²-7س+12)=(س-3)(س-4)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: (س-3)(س-4)(س+2)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول للمعادلة التكعيبية هذه هي: س=3، س=4، س=-2.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المعادلة التربيعية وتحليلها يُمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

الصيغة العامّة لحلّ المعادلات التكعيبيّة

يعدّ استخدام الصيغة العامّة لحلّ التكعيبيّة أطول وأقلّ سهولة، وهي شبيهة بالصيغة العامّة لحلّ المعادلة التربيعيّة؛ حيثُ يتمّ ادخال قيم أ، ب، ج، د للحصول على الحلول، وتكون هذه الصيغة على النحو الآتي:

• س= {ك+ [ك²+(ر-ع²)³]√}∛ + {ك- [ك²+(ر-ع²)³]√}∛+ ع؛ حيثُ أنّ:
  • ع=-ب/3×أ.
  • ك=ع³+(ب×ج-3×أ×د)/(6×أ²).
  • ر=ج/3أ.