كتب examples of circuit properties

• المثال الأول: تقاطع وتران أب، جـ د عند النقطة (و)، حيثُ يُقسّم كل منهما الآخر إلى جُزئين، وفي الوتر الأول كان طول أو= 4وحدات، وطول وب= 6 وحدات، بينما في الوتر الثاني كان طول جـ و=3 وحدات، فجد طول ود؟
  • الحل:
  • من خاصيّة تقاطع الأوتار ينتج أنّ: ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي أن: ود×3=4×6، وبقسمة الطرفين على 3 ينتج أنّ: ود=8 وحدات.

• المثال الثاني: دائرة مركزها م فيها المماس دأ يمُسّ الدائرة في النقطة أ ويلتقي مع الوتر أب في النقطة أ، فإذا كان قياس الزاوية ب أ د= 50°، فما قياس الزاوية أ م ب؟
  • الحل:
  • وفق الخاصية: عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة للوتر أب، وعليه فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر أب=50°.
  • وفق الخاصية: قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ فإن الزاوية المركزية أ م ب المقابلة للوتر (أب)= 2×الزاوية المحيطية المرسومة على الوتر (أب)، لينتج أن: الزاوية (أ م ب)= 2×50°= 100°.

• المثال الثالث: زاوية محيطيّة وزاوية مركزيّة تقابلان نفس القوس، فإذا كان قياس الزاوية المحيطيّة= 62°، فما قياس الزاوية المركزيّة؟
  • الحل:
  • بما أنّ قياس الزاوية المركزيّة = ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس ينتج أنّ: الزاوية المركزيّة =2×62°= 124°.

• المثال الرابع: دائرة مركزها النقطة م، فيها الوتران أب، أجـ، وقياس الزاوية أ م ب= 90°، وقياس الزاوية أم جـ= 110°، فما قياس الزاوية ب أ جـ؟
  • الحل:
  • بما أن الزاوية أ م ب + الزاوية أ م جـ + الزاوية جـ م ب= 360°، ينتج أن 90°+ 110°+الزاوية جـ م ب= 360°، ومنه الزاوية جـ م ب= 160°.
  • وبما أنّ الزاوية جـ م ب= 2×الزاوية ب أ جـ، وفق الخاصية قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ لينتج أن 160°=2× الزاوية ب أ جـ، وبقسمة الطرفين على 2 ينتج أنّ: الزاوية ب أ جـ= 80°.

• المثال الخامس: دائرة مركزها النقطة م، فيها الوتران أب، أجـ، وقياس الزاوية ب أ جـ = 50°، فما قياس الزاوية م ب جـ؟
  • الحل:
  • الزاوية ب م جـ = 2× الزاوية ب أ جـ، وفق الخاصية قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ لينتج منه أن الزاوية ب م جـ = 2×50°= 100°.
  • في المثلث المتساوي الساقين م ب جـ ، م ب = م جـ؛ لأنهما يمثلان أنصاف أقطار في الدائرة، وعليه فإنّ الزاوية م ب جـ = الزاوية م جـ ب.
  • وبما أنّ مجموع زوايا المثلث يساوي 180°، ينتج أنّ: م ب جـ + الزاوية م جـ ب + الزاوية ب م ج =180°، ومنه: م ب جـ + الزاوية م جـ ب + 100°= 180°، وعليه فإنّ: م ب جـ + الزاوية م جـ ب=80°، بالتالي: 2× الزاوية م ب جـ = 80°، ومنه الزاوية م ب جـ = 40°.

• المثال السادس: دائرة مركزها و، فيها الأوتار: أب، ب جـ، والنقطة د ناتجة عن تقاطع نصف القطر و جـ مع الوتر أ ب وهو عمودي عليه، والزاوية و أ ب =20°، الزاوية و جـ ب = 55°، فما قياس الزاوية ب و جـ والزاوية أ و جـ؟
  • الحل:
  • نفرض أنّ الزاوية ب و جـ = س، والزاوية أ و جـ = ص
  • الزاوية و ب أ = الزاوية و أ ب = 20°؛ لأنهما تمثلان زوايا القاعدة للمثلث متساوي الساقين (أوب).
  • من المثلث و أ د، والمثلث و ب د، و أ = وب لأنهما أنصاف أقطار في الدائرة، ود = ود لأنه ضلع مُشترك بين المثلثين، الزاوية و ب أ = الزاوية و أ ب = 20°، والزاوية ودب=الزاوية ودأ؛ لأن نصف القطر عمودي على الوتر أب، ومنه المثلث و أ د يطابق المثلث و ب د، ومنه ينتج أنّ: س = ص.
  • في المثلث و د أ يكون مجموع الزاوية أ و د + الزاوية و أ د + الزاوية و د أ = 180°، ومنه: ص + 90° + 20°= 180°، بالتالي: ص = 70°، ومنه: س = ص = 70°.

• المثال السابع: تقاطع وتران أب، جـ د عند النقطة (و)، حيثُ يُقسّم كل منهما الآخر إلى جُزئين، وفي الوتر الأول كان طول أو= (س+4) وحدات، وطول وب= 10 وحدات، بينما في الوتر الثاني كان طول جـ و=(س+1) وحدات، وطول ود=15 وحدة؟
  • الحل:
  • من خاصيّة تقاطع الأوتار ينتج أنّ: ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي أن: 10×(س+4)=(15)×(س+1)، وبتبسيط المعادلة ينتج أن: 10س+40=15س+15، 5س=25، وبقسمة الطرفين على 5 ينتج أنّ: س=5 وحدات.

• المثال الثامن: دائرة مركزها م فيها المماس دأ يمُسّ الدائرة في النقطة أ ويلتقي مع الوتر أب في النقطة أ، فإذا كان قياس الزاوية ب أ د= 40°، والزاوية ب أ جـ= 65°، علماً أن جـ نقطة تقع على محيط الدائرة، في الجهة المقابلة للوتر أب، فما قياس الزاوية أ ب جـ؟
  • الحل:
  • وفق الخاصية: عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة للوتر أب، وعليه فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر أب، وهي (أجـ ب)=40°.
  • في المثلث أب جـ الزاوية ب أ جـ معلومة وتساوي 65°، والزاوية أجـ ب تساوي 40°، وبما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180°؛ فإن الزاوية أب جـ=180-65-40=75°.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة القطاع الدائري يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة القطاع الدائري.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول طول قوس الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون طول قوس الدائرة.