كتب definition of using the unit circle
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
التعريف باستعمال دائرة الوحدة (معلومة)
- طالع أيضًا: دائرة وحدة
يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 و راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.
تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ دائرةَ الوحدةِ في النقطة فإنّ الدالةُ تُعرّف على أنها الإحداثي والدالة هي الإحداثي لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ: . وبرسم مماسٍ من النقطة يقطعُ محورَي السينات والصادات في النقطتين على الترتيب، فإنَّ .
يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة على دائرة الوحدة تُحقّق من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم ، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: . وأخيراً فإنَّ المسافات تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:
بما أنَّ دوراناً بزاوية لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ . وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دورة بطول . بمعنى آخر، المساواةَ و صالحةٌ لأي زاوية ولأي عدد صحيح . ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.
تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدورة الأساسية لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصلي (الصورة (1))، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دورة أساسية π.
الدوران
يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:
رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة
الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (منقط)، القاطع (منقط)، ظل التمام (منقط).
