كتب consistency and criticism
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
الاتساق والانتقادات (معلومة)
بحسب "الأسس المنطقية للرياضيات " لرودولف كارناب: أراد راسل نظرية يمكن القول بشكل معقول أنها تستمد جميع الرياضيات من البديهيات المنطقية البحتة، ومع ذلك فإن "مبادئ الرياضيات-Principia Mathematica" تطلبت بالإضافة إلى البديهيات الأساسية لنظرية النمط، ثلاث بديهيات أخرى بدا أنها غير صحيحة كمجرد مسائل منطقية، وهي بديهية اللانهائية، بديهية الاختيار، وبديهية الاختزال، وبما أن البديهيتين الأولى كانتا بديهيات وجودية، فقد صاغ راسل عبارات رياضية تعتمد عليها كشروط، ولكن في الاختزال كان من المطلوب التأكد من أن البيانات الصورية يمكنها حتى التعبير بشكل صحيح عن تحليل حقيقي، وبذلك البيانات المعتمدة عليها لا يمكن إعادة صياغتها كشروط، وقد جادل فرانك رامزي بأن تشعُّب راسل لنظرية الأنماط غير ضروري، وبذلك يمكن إزالة الاختزال ولكن هذه الحجج تبدو غير حاسمة.
بعيدًا عن وضع البديهيات كحقائق منطقية، يمكن للمرء أن يسأل الأسئلة التالية عن أي منظومة مثل "مبادئ الرياضيات-Principia Mathematica":
- ما إذا كان يمكن استنتاج تناقض من البديهيات (مسألة عدم الاتساق).
- وما إذا كان هناك بيان رياضي لا يمكن إثباته أو عدم إثباته في المنظومة (مسألة الاكتمال).
حساب القضايا كان في حد ذاته معروفًا باتساقه، ولكن هذا لم يكن في بديهيات "مبادئ الرياضيات" لنظرية المجموعات (مسألة هيلبرت الثانية)، وقد اشتبه راسل ووايتهيد بأن منظومة عملهم غير كامل.
غودل 1930-1931
في عام 1930، أوضحت نظرية الاكتمال لغودل أن منطق تنبؤ الرتبة الأولى نفسه كان كاملًا بشكلٍ أضعف بكثير- أي جملة غير قابلة للإثبات من مجموعة معينة من البديهيات يجب أن تكون خاطئة في بعض نماذج البديهيات، ومع ذلك هذا ليس الاكتمال المرغوب لمبادئ الرياضيات، فأي نظام معين من البديهيات قد يملك العديد من النماذج، في بعضها يكون بيان معين ما صحيحًا وفي بعض الحالات الأخرى يكون هذا البيان غير صحيح، وهكذا يبقى وضع البيان غير محسوم.
تلقي نظريات عدم الاكتمال لغودل ضوء غير متوقع على هاتين المسألتين المتصلتين.
أوضحت نظرية عدم اكتمال الأولى لغودل أنه لا يمكن لأي امتداد تكراري للمبادئ أن يكون متسقًا وكاملًا بنفس الوقت بالنسبة للبيانات الحسابية، وفقًا للنظرية: في كل نظام منطقي تكراري قوي بما فيه الكفاية (مثل Principia)، هناك بيان G يقرأ "البيان G لا يمكن إثباته"، ومثل هذا البيان نوع من الحالات المتناقضة (كاتش22)، إذا تم إثبات G فالعبارة خاطئة وبالتالي فإن النظام غير متناسق، وإذا كان G غير قابل للإثبات فالعبارة صحيحة وبالتالي النظام غير مكتمل. تُظهِر نظرية عدم الاكتمال الثانية (1931) أنه لا يمكن استخدام أي نظام شكلي موسع للحساب الأساسي لإثبات اتساقه، وبالتالي لا يمكن أن يثبت بيان "لا توجد تناقضات في نظام المبادئ" في نظام المبادئ ما لم تكن هناك تناقضات في النظام (في هذه الحالة يمكن إثبات كل من الصحة والخطأ).
لودفيغ فيغنتشتاين 1919- 1939
انتقد فيغنتشتاين المبادئ بمحاضراته حول أسس الرياضيات على أسس مختلفة:
- الحسابات التي نستخدمها بشكل يوم أساسية وأي اختلاف بينها وبين المبادئ سيكون الخطأ في هذه الأخيرة وليس الحسابات اليومية.
- لا يمكن استخدام المبادئ مع الأرقام الكبيرة وإلا ستصبح الصيغ طويلة جدًا، واختصار ذلك سيحتاج عملية تعتمد على التقنيات اليومية، ومرة أخرى المبادئ هي من تعتمد على التقنيات وليس العكس.
ولكنه اعترف مع ذلك بأن المبادئ قد تجعل بعض الحسابات اليومية أوضح.
غودل 1944
قدم غودل عام 1944 في "منهج راسل الرياضي- Russell"s mathematical logic": "مناقشة نقدية لكن متعاطفة مع التنظيم المنطقي للأفكار".
