كتب مساحة مثلثات

قانون حساب مساحة المثلث

يُطلق مصطلح المساحة على الحيّز المحصور ضمن حدود جسم أو شكل مُسطّح أو ثنائي الأبعاد، ووحدة قياس المساحة هي وحدة قياس طول الضلع مربعةً، وتُعدّ وحدة القياس م² هي الوحدة القياسية لقياس المساحة، ، ويُمكن قياس مساحة المثلث باستخدام قانون المساحة الآتي:

• مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع

يُستخدم القانون السابق لحساب مساحة جميع أنواع المثلثات، فلو أنّ هناك مثلث طول قاعدته 20م وارتفاعه 12م، فإنّه وبحسب القانون المذكور سابقاً، مساحة المثلث هي= 0.5*20*12=120م²، وبالإمكان التوصّل إلى قانون مساحة المثلث باستخدام قانون مساحة المستطيل، والذي ينصّ على أنّ مساحة المستطيل تُساوي القاعدة مضروبةً بالارتفاع، ويفصل قطر المستطيل -وهو المسافة الواصلة بين الزاويتين المتقابلتين في المستطيل- المستطيل إلى مثلثين متساويين في المساحة، فإنّ مساحة كلّ واحد منهما تُساوي نصف مساحة المستطيل، أيّ أنّ مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع.

يُمكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام معطيات محدّدة، ففي حال عُرف قياس طول ضلعين متجاورين في المثلث بالإضافة إلى قياس الزاوية المحصورة بينهما، فإنّه من الممكن حساب مساحة المثلث باستخدام القانون الآتي:

• مساحة المثلث= 0.5*الضلع المجاور الأول*الضلع المجاور الثاني* جا(س)

حيث إنّ:

• • جا(س)= جيب الزاوية س المحصورة بين الضلع الأول والضلع الثاني.

ويتمّ إثبات صحة القاون السابق كالآتي:

• • جا(س)= المقابل/الوتر، ويُستخدم هذا القانون في المثلث قائم الزاوية، أيّ أنّ:
  • جا(س)= الارتفاع/الوتر
  • الارتفاع= جا(س)*الوتر
  • وبما أنّ المساحة بحسب القانون الأصلي= 0.5*القاعدة*الارتفاع
  • المساحة= 0.5*القاعدة*(جا(س)*الوتر)
  • وبما أنّ القاعدة والوتر هما الضلعان المجاوران للزاوية س، فيُمكن كتابة القانون على الشكل الآتي:

مساحة المثلث= 0.5*الضلع المجاور الأول*الضلع المجاور الثاني*جا(س)

كما أنّه من الممكن حساب مساحة المثلث إذا توافر قياس أحد أضلاعه بالإضافة إلى قياس كلا الزاويتين المجاورتين لهذا الضلع، ولم يتوافر ارتفاع المثلث، من خلال القانون الآتي:

• مساحة المثلث= الضلع²*جا(س)*جا(ص)/(2*(جا(س+ص))

حيث إنّ:

• • (س) و (ص): الزاويتان المعلومتان المجاورتان للضلع.

وفي حال توافر قياس أضلاع المثلث الثلاث، فإنّه من الممكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون والتي تنصّ على أنّ:

• س= (أ+ب+ج)/2

حيث إنّ:

• • س= نصف قيمة محيط المثلث؛ والذي يُساوي مجموع أطوال أضلاع المثلث.
  • أ،ب،ج: هي أطوال أضلاع المثلث الثلاث.

وبالتالي فإنّ يتمّ حساب مساحة المثلث كالآتي:

• مساحة المثلث= (س*(س-أ)*(س-ب)*(س-ج))^0.5

يُستخدم القانون العام لمساحة المثلث لحساب مساحة المثلث قائم الزاوية أيضاً، إذ إنّ الضلع القائم في المثلث هو الارتفاع، والضلع الذي يصنع معه القائم زاوية 90°هو القاعدة، وبالتالي فإنّ:

• مساحة المثلث= 0.5*الارتفاع*القاعدة

أمّا في المثلث متساوي الأضلاع، فإنّ الصيغة العامة لقانون مساحة المثلث هي كالآتي:

• مساحة المثلث متساوي الأضلاع= أ²*((3^½) /4)

حيث إنّ:

• • أ= طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع.

أمثلة متنوعة على حساب مساحة المثلث

توضّح الأمثلة الآتية كيفية استخدام المعطيات المتاحة لإيجاد مساحة المثلث المطلوبة:

• المثال الأول:

مثلث حاد الزاوية، طول قاعدته 13 إنش، وارتفاعه 5 إنش، جد مساحته. الحل: باستخدام قانون مساحة المثلث فإنّ:

• • المساحة= 0.5*القاعدة*الارتفاع
  • المساحة= 0.5*13*5=32.5إنش².
• المثال الثاني:

مثلث قائم الزاوية، طول قاعدته 7سم، وارتفاعه 8سم، جد مساحته. الحل: باستخدام قانون مساحة المثلث فإنّ:

• • المساحة= 0.5*القاعدة*الارتفاع
  • المساحة= 0.5*7*8=28سم².
• المثال الثالث:

تبلغ مساحة مثلث ما 18 قدم²، طول قاعدته 3 أقدام، جد ارتفاعه. الحل: لإيجاد ارتفاع المثلث بوجود قيم كلّ من المساحة والقاعدة فإنّ:

• • المساحة= 0.5*القاعدة*الارتفاع
  • الارتفاع= المساحة/(0.5*القاعدة)
  • الارتفاع= 18/(0.5*3)
  • الارتفاع= 12 قدم.
• المثال الرابع:

جد مساحة مثلث طول اثنين من أضلاعه 25 و 12 وحدة على التوالي، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 51°. الحل: باستخدام قانون مساحة المثلث القائم على قيم جيب الزاوية فإنّ:

• • مساحة المثلث= 0.5*الضلع الأول*الضلع الثاني*جا(س)
  • مساحة المثلث= 0.5*12*25*جا(51)
  • مساحة المثلث= 0.5*12*25*0.78
  • مساحة المثلث= 117وحدة مربعة.
• المثال الخامس:

إذا كان قياس أطوال أضلاع المثلث 31،44،60 وحدة على التوالي، جد مساحة المثلث. الحل: باستخدام صيغة هيرون فإنّ:

• • س= (أ+ب+ج)/2
  • س= (60+44+31)/2
  • س= 67.5
  • مساحة المثلث= (س*(س-أ)*(س-ب)*(س-ج))^0.5
  • مساحة المثلث= (67.5*(67.5-60)*(67.5-44)*(67.5-31)^0.5
  • مساحة المثلث= (67.5*7.5*23.5*36.5)^0.5
  • مساحة المثلث= 434235.9^0.5
  • مساحة المثلث= 658.97 وحدة مربعة.
• المثال السادس:

مثلث متساوي الأضلاع، محيطه يُساوي 78 وحدة، جد مساحته. الحل: بما أنّ أطوال أضلاع المثلث متساوية، فهذا يعني أنّ:

• • طول الضلع= 78/3=26
  • مساحة المثلث متساوي الأضلاع= ((3^0.5)/4)*26^²
  • مساحة المثلث= 292.7 وحدة مربعة.
• المثال السابع:

مثلث متساوي الأضلاع، طول أحد أضلاعه 3 إنش، جد مساحته. الحل: باستخدام قانون مساحة المثلث الخاص بالمثلث متساوي الأضلاع فإنّ:

• • مساحة المثلث متساوي الأضلاع= أ²*((3^½) /4)
  • مساحة المثلث= (3^½) /4)*3^2
  • مساحة المثلث= (0.433)*9
  • مساحة المثلث= 3.897 إنش².
• المثال الثامن:

يمرّ الخط ل1 برأس المثلث، أمّا الخط ل2 فيمرّ قاطعاً كلا نقطتي القاعدة بشكل يوازي ل1، إذا كانت مساحة المثلث 6 وحدات مربعة، وطول القاعدة= 4 وحدات، جد المسافة بين الخطين المتوازيين ل1 ول2. الحل: بما أنّ الخطين ل1، ل2 متوازيان ويحصران أقصر مسافة عمودية بين نقاط المثلث، فإن المسافة بينهما هي ارتفاع المثلث، لذا فإنّ:

• • مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع
  • الارتفاع= مساحة المثلث/(0.5*القاعدة)
  • الارتفاع= 6/(0.5*4)
  • الارتفاع= 3 وحدات.
• المثال التاسع:

قيمة مساحة مثلث ما 12سم²، وارتفاعه 3سم، جد طول قاعدته. الحل: لإيجاد قيمة القاعدة اعتماداً على قيم كلّ من المساحة والارتفاع فإنّ:

• • مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع
  • القاعدة= مساحة المثلث/(0.5*الارتفاع)
  • القاعدة= 12/(0.5*3)
  • القاعدة= 8سم.
• المثال العاشر:

مساحة مثلث ما 8سم²، وقاعدته 4سم، جد ارتفاعه. الحل: لإيجاد قيمة القاعدة اعتماداً على قيم كلّ من المساحة والارتفاع فإنّ:

• • مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع
  • الارتفاع= مساحة المثلث/(0.5*القاعدة)
  • الارتفاع= 8/(0.5*4)
  • الارتفاع= 4سم.

• المثال الثاني عشر:

مثلث قائم الزاوية، مساحته 39 وحدة مربعة، طول قاعدته 12، وطول الوتر 13، جد ارتفاعه، والزاوية المحصورة بين كلّ من القائم والوتر، وبين كلّ من الوتر والقاعدة. الحل: لإيجاد ارتفاع المثلث يتمّ استخدام نظرية فيثاغورس:

• • الوتر²= القاعدة²+الارتفاع²
  • الارتفاع²= ²13-²12
  • الارتفاع²= 169-144=25
  • الارتفاع= 5 وحدات

ولإيجاد الزاوية المحصورة بين الوتر والقاعدة، فإنّه من الممكن استخدام قانون مساحة المثلث بوجود جيب الزاوية:

• • مساحة المثلث=0.5*الضلع المجاور الأول*الضلع المجاور الثاني*جا(س)
  • 39= 0.5*12*13*جا(س)
  • جا(س)= 78/39
  • جا(س)= 0.5، وباستخدام معكوس جيب الزاوية فإنّ:
  • س= جا^-1(0.5)
  • س= 30°

ولإيجاد الزاوية المحصورة بين الوتر والارتفاع فإنّ:

• • مجموع زوايا المثلث= 180°، وبما أنّ المثلث قائم الزاوية
  • 180=90+30+ص
  • ص=180-(30+90)
  • ص=60°

نظرة عامة حول المثلث

يُعرف المثلث على أنّه أيّ شكل هندسي مغلق مكوّن من ثلاثة أضلاع، وتُصنّف المثلث إلى العديد من الأنواع، فهي حسب قياس زواياها ثلاثة أنواع؛ مثلث حاد الزوايا وهو المثلث الذي يقل فيه قياس الزوايا الثلاثة عن 90°، ومثلث منفرج الزاوية وهو المثلث الذي يكون فيه قياس واحدة من الزوايا الثلاثة أكبر من 90°، ومثلث قائم الزاوية وهو المثلث الذي الذي يكون فيه قياس زاوية واحدة من زواياه الثلاثة 90°.

يُمكن تصنيف المثلثات إلى عدّة أنواع حسب أطوال أضلاعها، فهناك المثلث متساوي الأضلاع وهو المثلث الذي يتكوّن من ثلاثة أضلاع بنفس قياس، والمثلث متساوي الساقين وهو المثلث الذي يكون فيه قياس ضلعين من أصل ثلاثة متساوياً، والمثلث مختلف الأضلاع وهو المثلث الذي يتكوّن من ثلاثة أضلاع مختلفة في قياساتها.

فيديو عن كيفية حساب مساحة المثلث

للتعرّف على كيفية حساب مساحة المثلث يُمكن مشاهدة الفيديو الآتي: