كتب مسألة جسمين

تخفيض الإثنتين إلى مسألتين لجسم واحد

لتكن x₁ وx₂ هما موضعي الجسمين، وm₁ وm₂ هما كتلتيهما. الهدف هو التحقق من مساري المقذوفتين x₁(t) وx₂(t) لكل الأزمنة t، بدلالة المواضع الأولية x₁(t=0) وx₂(t=0) والسرعات الابتدائيةv₁(t=0) وv₂(t=0).

عند تطبيقها على الكتلتين، قانون نيوتن الثانيwينص على

حيث F₁₂تمثل القوة على الكتلة 1 نتيجة لتآثرها مع الكتلة 2، وF₂₁ هي القوة المؤثرة على الكتلة 2 نتيجة تآثرها مع الكتلة 1.

بجمع وطرح هاتين المعادلتين يمكننا فصلهما إلى مسألتين منفصلتين لمسألة جسم واحد، وبالتالي حلهما بشكل مستقل.

بجمع المعادلتين (1) و(2) يعطينا معادلة تصف حركة مشتركة حول مركز الكتلة (مرجح). بالمقارنة، طرح المعادلة (2) من المعادلة (1) يعطي معادلة تصف كيف يتغير المتجه r = x₁ − x₂ بين الكتلتين زمنيا. إن الحل المنفصل لمسألة جسم واحد لهما يمكن دمجه لإيجاد الحلول لمساري القذيفتين x₁(t) and x₂(t).

حركة مركز الكتلة (مسالة جسم واحد الأولى)

بإضافة معادلات القوى (1) و(2) نحصل على

حيث أننا استعملنا قانون نيوتن الثالث F₁₂ = −F₂₁ وحيث أن

تمثل موضع مركز الثقل (المرجح) للنظام. المعادلة الناتجة

تبين أن السرعة المتجهة V = dR/dt لمركز الكتلة تكون ثابتة، وينجم عن ذلك ثبات إجمالي كمية التحرك m₁ v₁ + m₂ v₂ أيضا (حفظ كمية التحرك). بالتالي يمكن تحديد الموضع R (t) لمركز الكتلة في جميع الأوقات من الموضعين والسرعتين الابتدائيتين.

حركة إزاحة المتجه (مسالة جسم واحد الثانية)

بقسمة معادلتي القوة على الكتل ذات العلاقة، بطرح المعادلة الثانية من الأولى وبإعادة الترتيب نحصل على المعادلة

حيث استعملنا مرة أخرى قانون نيوتن الثالثw F₁₂ = −F₂₁ وحيث أن r تمثل متجه الإزاحة من الكتلة 2 إلى الكتلة 1، كما هو معرف أعلاه.

القوة بين الجسمين، التي مصدرها الجسمين، ينبغي أن تكون دالة فقط في المسافة الفاصلة بينهما، r وليس في موضعيهما المطلقين x₁ وx₂; ما لم، لن يكون للفيزياء تماثل معنوي، أن قوانين الفيزياء ستتغير من مكان لآخر. بعبارة أخرى، ليست المسألة في أي مكان في الكون يقع الجسمين، بما أنهما الجسمين الوحيدين في الكون وأنهما مصدر القوى المؤثرة على بعضهما. بالطبع فهذا ليس هو الواقع، وإنما فكرة للتبسيط.. لكن، صمن حدود المسألة، تعتمد القوة على rفقط، ويمكن كتابة المعادلة المطروحة:

حيث هي كتلة مخفضة

بحل المعادلة في r(t)نكون قد حللنا لغز مسألة الجسمين; الطرق العامة للحل مشروحة بالأسفل.

عند إيجادR (t) وr(t)، يمكن حينئذ إيجاد المسارات الأصلية للمقذوفتين

ويمكن التحقق أيضا بتعويض تعريفات R وr في طرفي المعادلتين من اليمين.

حركة جسمين في مستوى

تقع حركة جسمين حول بعضهما دائما على مستوى (في مركز إطار الكتلة). بتعريف كمية التحرك الخطي p والزخم الزاوي L بالمعادلات

معد التغير في الزخم الخطي L يساوي صافي العزم N

بالاستعانة بخاصية الضرب المتجهي بأن v × w = 0 لأي متجهات v وw مشيرة في نفس الاتجاه،

مع F = μ d ²r / dt ².

الحل العام للقوى المركزية

في العديد من المسائل الفيزيائية، تسمى القوة (F(r قوة مركزية, أي أنها على الصورة

حيث r = |r| وr̂ = r/r يمثل متجه الوحدة المقابل. يصبح لدينا الآن:

حيث F(r) تكون سالبة في حال قوى الجذب.

في حالات كهذه يكون من الأنسب الانتقال إلى الإحداثيات القطبية، بما أن الحركة في المستوى. يمكن احتساب المشتقة الثانية بسهولة بالنظر للعلاقة بين الإحداثيات الكارتيزية والقطبية:

باستعمال تفاضل المتجة في الإحداثيات القطبية نجد أن

حيث أن ω هي السرعة الزاوية وL = μ r² ω هو الزخم الزاوي.

لما كانت القوة بالاتجاه الشعاعي، فإن الحد في الاتجاه الأفقي طريقة أخرى لاستنباط علاقة حفظ الزخم الزاوي. يمكن الآن كتابة معادلة المركبة الشعاعية لمتجه الإزاحة:

إذا كانت L ذات قيمة لاصفرية، يمكن تغيير المتغير المستقل في المعادلة الشعاعية من t إلى θ

معطين معادلة الحركة الجديدة

تصبح هذه المعادلة شبه خطية في عملية تغيير المتغيرات u = 1/r