كتب متجه رباعي جبريا

المتجه الرباعي في قيمة حقيقية

المتجه الرباعي A هو عبارة عن متجه ذو مكون "زمني" وثلاثة مكونات "مكانية"، ويمكن كتابته بترميزات مختلفة مكافئة:

حيث في الشكل الأخير تم دمج المكون الكمي ومتجه القاعدة في عنصر واحد.

تشير المؤشرات العليا إلى مكونات مخالفة (contravariant). في هذه الحالة، تشير المصطلحات القياسية إلى أن المؤشرات اللاتينية تأخذ قيمًا للمكونات المكانية، بحيث تأخذ i = 1 ، 2 ، 3 ، والمؤشرات اليونانية قيمًا لمكونات الفضاء والوقت، لذلك α = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، تُستخدم مع ترميز أينشتاين. يعد الفصل بين المكون الزمني والمكونات المكانية مفيدًا عند تحديد انقباضات متجه واحد بأربعة متجهات بكميات التينور الأخرى، مثل لحساب مثيلات لورينتز في المنتجات الداخلية (الأمثلة المذكورة أدناه) ، أو رفع وخفض المؤشرات.

في النسبية الخاصة، غالبًا ما تكون القاعدة شبه المكانية E ₁ و E ₂ و E ₃ والمكونات A ¹ و A ² و A ³ أساسًا ديكارتًا ومكوناته:

ولكن يمكن استخدام أي قاعدة ومكونات أخرى، مثل الإحداثيات القطبية الكروية

أو الإحداثيات القطبية الاسطوانية،

أو أي إحداثيات متعامدة أخرى، أو حتى إحداثيات عامة منحنية . لاحظ دائمًا أن تسميات الإحداثيات يتم كتابتها كتسميات وليست مؤشرات تأخذ قيمًا رقمية. في النسبية العامة، يجب استخدام الإحداثيات المحلية المنحنية على أساس محلي. من الناحية الهندسية، لا يزال من الممكن تفسير المتجهات الأربعة على أنها أسهم، ولكن في الزمكان - وليس فقط الفضاء. في النسبية، يتم رسم الأسهم كجزء من مخطط مينكوسكي (وتسمى أيضًا مخطط الزمكان). في هذه المقالة، سيشار إلى المتجهات الأربعة ببساطة كمتجهات.

من المعتاد أيضًا تمثيل القواعد (bases) بواسطة متجهات الأعمدة:

وبالتالي:

العلاقة بين الإحداثيات المتغيرة والمتناقضة هي من خلال موتر مينكوفسكي المتري (يشار إليه بالمقياس المتري)، η الذي يرفع ويخفض المؤشرات على النحو التالي:

وفي مختلف الرموز المكافئة، تكون المكونات المتغيرة هي:

حيث يشير المؤشر الذي تم خفضه إلى أنه متغير. غالبًا ما يكون القياس قطريًا، كما هو الحال بالنسبة للإحداثيات المتعامدة (انظر عنصر الخط)، ولكن ليس في الإحداثيات العامة المنحنية.

أيضاً يمكن تمثيل القواعد بواسطة متجهات الصف:

وهكذا:

تحويل لورنتز

نظرًا لوجود إطارين مرجعيين للقصور الذاتي أو الاستدارة، يتم تعريف المتجه على أنه كمية تتحول وفقا لتحويلات لورنتز للمصفوفة Λ :

في رمز المؤشر، تتحول المكونات المتعارضة والمتغيرة وفقًا لما يلي، على التوالي:

فيه Λ مصفوفة على مكونات ^_Λ μ ν في الصف   μ والعمود   ν ، والمصفوفة العكسية Λ ⁻¹ بها مكونات row _μ ^ν في الصف   μ والعمود   ν .

للحصول على معلومات أساسية حول طبيعة تعريف التحول هذا، راجع الموتر. جميع المتجهات الأربعة تتحول بالطريقة نفسها، ويمكن تعميم ذلك على التنسورات النسبية رباعية الأبعاد؛ انظرالنسبية الخاصة .

دورات نقية حول محور تعسفي

استدارة الإطارين بزاوية ثابتة θ حول محور يحددها متجه الوحدة:

دون أي يعزز وΛ مصفوفة على مكونات المعادلة:

حيث δ _ij هي دلتا كرونكر ، و ε _ijk هي رمز Levi-Civita ثلاثي الأبعاد. يتم تدوير المكونات الشبيهة بالفضاء المتجهي الرباعي، بينما تظل المكونات الشبيهة بالوقت دون تغيير.

بالنسبة لحالات الدوران حول المحور z فقط، فإن الجزء المشابك لمصفوفة لورنتز يقلل إلى مصفوفة الدوران حول المحور z :

الخصائص

الخطية

أربعة متجهات لها نفس الخصائص الخطية مثل المتجهات الإقليدية في ثلاثة أبعاد. يمكن إضافتها بالطريقة المعتادة المتبادلة:

موتر مينكوفسكي

عند تطبيق موترمينكوفسكي η_μν على متجهين رباعيين A و B ، وكتابة النتيجة بترميز المنتج في النقاط ، لدينا، باستخدام ترميز آينشتاين :

من المناسب إعادة كتابة التعريف في شكل مصفوفة:

المتجهات الثنائية

غالبًا ما يتم التعبير عن تطبيق موتر منكوفسكي باعتباره تأثير المتجه الثنائي لأحد المتجهات على الآخر:

هنا A_νs هي مكونات المتجه المزدوج A* من A على أساس مزدوج وتسمى إحداثيات متغيرة من A، في حين تسمى مكونات A^ν الأصلية إحداثيات المخالفة (contravariant).