كتب تعريف المنهج
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
تعريفات منهجية (معلومة)
هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي، لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل، وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.
تكامل ريمان
يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ مجموع ريمان للدالة الموجودة ضمن مجال جزئها المحدد Tagged partition. فإذا كان الفترة [a,b] هي فترة مغلقة في خطها الحقيقي؛ فإن جزئها المحدد ضمن الفترة [a,b] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:
وهذا سيجزئ الفترة [a,b] إلى n جزء ذو الفترة الجديدة [xi−1, xi]، حيث أن i يعتمد على عدد الأجزاء، كل واحد من هذه الأجزاء "تم تحديدها" بنقطة مفرِّقة ti التي تنتمي للفترة [xi−1, xi]. إذاً، تُعرّف مجموع ريمان للدالة f الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [a,b] على النحو التالي:
و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى، ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔi = xi−xi−1 هي عرض الفترة الجزئية i; لكي يكون تشبيك هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية، التي لها القيمة القصوى i=1…n Δi. إذاً، تكامل ريمان للدالة f في الفترة [a,b] هي مساوية للقيمة S: فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [a,b] أقل من قيمة δ, ستكون:
